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Exercícios Resolvidos de Série de Fourier apenas em senos ou cossenos

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Enunciado

Considere a função f x = π - 2 x 4 , 0 < x < π .

  1. Determine uma série de Fourier em senos para a função f ( x ) .
  2. Esboce o gráfico da função para a qual a série de Fourier obtida no item (a) converge no intervalo - 2 π ≤ x ≤ 2 π . Justifique sua resposta.

Passo 1

Letra b)

A letra b é a que pede o gráfico da série de Fourier, mas vamos fazer logo aqui porque isso ajuda muito para visualizar a questão, ok? Vamos lá. Graficamente é isso aqui:

Essa é a definição de f ( x ) que o problema deu de 0 a π :

Para desenhar essa reta, você tem que achar os valores de f ( 0 ) e f ( π ) .

Vamos fazer a extensão ímpar dessa função, porque o problema pede uma série de senos. Primeiro nós espelhamos ela em relação ao eixo y

Espelhamos essa reta verde no eixo x :

O período de f - é então essa parte azul mais a vermelha, para termos uma função em série de senos temos que ter f x ímpar como já vimos, para isso devemos pegar a função entre – π e π , fazendo essa marotagem que fizemos ali de espelhar no eixo y e depois no eixo x , isso garante que nossa função seja ímpar, mas para isso tudo dar certo temos que pegar de – π à π fazendo o período ser 2 π

! É só repetir isso aí.

Pronto, temos então a função periódica. É bom você sempre desenhar esse tracejado grande para marcar o período da função, para não se perder!

Repare nos pontos de descontinuidade. Como estamos representando a função para qual a série de Fourier converge, nos pontos de salto, a função vale a média dos limites laterais. Nesse caso:

f x + + f x - 2 = 0

Nós colocamos então as bolinhas cheias em y = 0 (repare que todas as retas tem bolinhas vazias nas suas extremidades). Não poderia ser diferente, né? Uma extensão periódica ímpar sempre apresenta:

f 0 = f L = f - L = 0

Como a gente já viu. Isso é muito importante! Não se esqueça!

Passo 2

Letra a)

Beleza, agora vamos montar o problema. Como a função é ímpar, temos o seguinte:

f x = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n π x L    

a n = 0

b n = 2 L ∫ 0 L f x sen ⁡ n π x L d x ,       n = 0,1 , 2 …

Como o período da função é 2 π , temos:

2 L = 2 π     →     L = π

Passo 3

Vamos calcular os b n ’s. Temos que:

b n = 2 π ∫ 0 π f x sen ⁡ ( n x ) d x

Agora vamos substituir a expressão de f ( x ) :

π - 2 x 4

b n = 2 π ∫ 0 π π - 2 x 4   sen ⁡ ( n x ) d x

b n = 1 2 ∫ 0 π   sen ⁡ ( n x ) d x - 1 π ∫ 0 π x   sen ⁡ ( n x ) d x

b n = - 1 2 n c o s ( n x ) 0 π - 1 π ∫ 0 π x   sen ⁡ ( n x ) d x

b n = - 1 2 n [ cos ⁡ n π - 1 ] - 1 π ∫ 0 π x   sen ⁡ ( n x ) d x

Agora vamos fazer a integração por partes:

u = x       →       u ' = 1

v ' = sen ⁡ n x       →         v = - 1 n cos ⁡ ( n x )

b n = - 1 2 n cos ⁡ n π - 1 - 1 π - x n cos ⁡ n x 0 π - ∫ 0 π - 1 n cos ⁡ n x d x

b n = - 1 2 n cos ⁡ n π - 1 - 1 π - π n cos ⁡ n π + ∫ 0 π 1 n cos ⁡ n x d x

b n = - 1 2 n cos ⁡ n π - 1 - 1 π - π n cos ⁡ n π + 1 n 2 sen ⁡ ( n x ) 0 π

b n = - 1 2 n cos ⁡ n π - 1 - 1 π - π n cos ⁡ n π + 1 n 2 sen ⁡ ( n π )

b n = - 1 2 n cos ⁡ n π - 1 - 1 π - π n cos ⁡ n π + 0

b n = - 1 2 n cos ⁡ n π - 1 + 1 n cos ⁡ n π

b n = 1 2 n 1 + c o s ⁡ ( n π )

Lembrando que

cos ⁡ n π = - 1 n

Podemos escrever

b n = 1 + - 1 n 2 n

Passo 4

Agora vamos substituir tudo o que encontramos, temos:

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n sen ⁡ n π x L    

L = π

a n = 0

b n = 1 + - 1 n 2 n

O que nos dá

f x = ∑ n = 1 ∞ 1 + - 1 n 2 n sen ⁡ ( n x )        

Resposta

f x = ∑ n = 1 ∞ 1 + - 1 n 2 n sen ⁡ ( n x )

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