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Exercícios Resolvidos de Série de Fourier apenas em senos ou cossenos

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Enunciado

Seja f a função ímpar, periódica de período 2 π e tal que f x = π - x se 0 ≤ x ≤ π .

( a ) Encontre a série de Fourier de f .

( b ) Mostre que

∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 2 n - 1 = π 4

Passo 1

( a ) Para calcular a série de Fourier, primeiro identificamos o período P = 2 L = 2 π . Portanto, L = π .

Assim, a série é dada por:

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n s e n n π x L

Passo 2

Beleza, mas qual é a extensão ímpar da função?

É a seguinte:

f x = - π - x ,       - π ≤ x ≤ 0 π - x ,       0 ≤ x ≤ π       e       f x + 2 π = f ( x )

Já dá pra ter uma ideia que é uma função dente de serra né... ok, vamos as contas agora!

Passo 3

Para calcular os coeficientes da Série de Fourier, lembremos que a função é ímpar. Ou seja, só sobram os termos em seno.

b n = 1 L ∫ - L L f x sen ⁡ n π x L d x

b n = 1 π ∫ - π π f x sen ⁡ n x d x

Como f ( x ) e s e n   ( n x ) são ímpares, seu produto é par. Assim,

b n = 2 π ∫ 0 π ( π - x ) sen ⁡ n x d x

b n = 2 π ∫ 0 π π sen ⁡ n x d x - 2 π ∫ 0 π x sen ⁡ n x d x

b n = 2 ∫ 0 π sen ⁡ n x d x - 2 π ∫ 0 π x sen ⁡ n x d x

Passo 4

Para o segundo termo, vamos usar integração por partes:

∫     x ⏟ u sen ⁡ n x ⏟ v ' d x = x ⏟ u - cos ⁡ n x n ⏟ v - ∫     1 ⏟ u ' . - cos ⁡ n x n ⏟ v d x

∫     x sen ⁡ n x d x = - x cos ⁡ n x n + ∫     cos ⁡ n x n d x

∫     x sen ⁡ n x d x = - x cos ⁡ n x n + s e n   ( n x ) n 2

Substituindo:

b n = 2 - cos ⁡ n x n 0 π - 2 π - x cos ⁡ n x n + s e n   ( n x ) n 2 0 π

b n = 2 - cos ⁡ n π n + 1 n - 2 π - π cos ⁡ n π n

b n = 2 n

Passo 5

Então, nós obtemos que

f x = ∑ n = 1 ∞ b n   s e n n x

f x = ∑ n = 1 ∞ 2 n   s e n n x

Passo 6

( b ) Para mostrar que

∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 2 n - 1 = π 4

vamos fazer o seguinte: vamos tomar x = π (você vai ver que os senos serão fáceis de calcular assim!).

Pela série de Fourier, temos:

f π 2 = ∑ n = 1 ∞ 2 n   s e n n π 2

Mas, da expressão de f ( x ) , sabemos que f π 2 = π - π 2 = π 2 . Assim, podemos afirmar

∑ n = 1 ∞ 2 n   s e n n π 2 = π 2

Passo 7

Perfeito, agora vamos olhar pro somatório: se n for ímpar, o seno dá ± 1 ; se n for par, o seno dá 0 . Então vamos escrever n = 2 k - 1 :

∑ k = 1 ∞ 2 2 k - 1   s e n ( 2 k - 1 ) π 2 = π 2

Se k for ímpar, o seno dá 1 ; se k for par, o seno dá - 1 . Pronto, isso é - 1 k + 1 .

∑ k = 1 ∞ 2 2 k - 1   - 1 k + 1 = π 2

E, finalmente:

∑ k = 1 ∞ - 1 k + 1 2 k - 1   = π 4

Agora, se você troca k por n (o que dá na mesma), obtemos a relação desejada!

Resposta

f x = ∑ n = 1 ∞ 2 n   s e n n x

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