Responde Aí

Exercícios Resolvidos de Série de Fourier apenas em senos ou cossenos

Ver Teoria

Enunciado

Seja f   :   [ 0 ,   4 ]   →   R a funcão definida por

f x = 2 x ,     0 ≤ x < 2 2 x - 8 ,     2 ≤ x ≤ 4

a Determine a série de Fourier em senos de f .

b Esboce o gráfico da série de Fourier obtida no item ( a ) no intervalo [ - 12 ,   12 ] .

c Calcule o valor da série ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) m   ( 2 m   +   1 )

Dica: cos ⁡ m π 2 = 0 para m ímpar e sen ⁡ m π 2 = 0 para m par.

Passo 1

a Vamos lembrar nossas fórmulas pras séries de Fourier em senos, fera!

f x = ∑ n = 1 ∞ b n s e n ( n π x L )

b n = 2 L   ∫ 0 L f x s e n n π x L d x     n = 1,2 , 3 …

No nosso caso, L   = 4 !

Passo 2

Vamos começar achando b n substituindo as coisas na fórmula:

b n = 2 4   ∫ 0 4 f x s e n n π x 4 d x

Como f x é definida de duas formas diferentes entre 0 e 4 , temos que separar as integrais:

1 2 ∫ 0 2 2 x s e n n π x 4 d x + ∫ 2 4 2 x - 8 s e n n π x 4 d x =

= ∫ 0 2 x s e n n π x 4 d x + ∫ 2 4 x - 4 s e n n π x 4 d x =

= ∫ 0 2 x s e n n π x 4 d x + ∫ 2 4 x s e n n π x 4 d x - ∫ 2 4 4 s e n n π x 4 d x =

Repara agora que podemos juntar de novo aquelas integrais em x multiplicando o seno:

= ∫ 0 4 x sen ⁡ n π x 4 d x - ∫ 2 4 4 sen ⁡ n π x 4 d x

Passo 3

Show, agora podemos resolver isso aí! Vamos resolver a primeira integral primeiro:

∫ 0 4 x sen ⁡ n π x 4 d x

Integrando por partes:

u = x ⇒ d u = 1

d v = sen ⁡ n π x 4 ⇒ v = - 4 n π cos ⁡ n π x 4

Ficamos com:

∫ 0 4 x sen ⁡ n π x 4 d x = - 4 x n π cos ⁡ n π x 4 0 4 + ∫ 0 4 4 n π cos ⁡ n π x 4 d x =

= - 16 n π cos ⁡ n π + 0 + 16 n 2 π 2 sen ⁡ n π x 4 0 4 =

= - 16 n π cos ⁡ n π + 16 n 2 π 2 sen ⁡ n π ⏟ 0 + 16 n 2 π 2 sen ⁡ 0 ⏟ 0 =

= - 16 n π cos ⁡ n π

Vamos partir pra próxima integral! Essa é moleza:

∫ 2 4 4 sen ⁡ n π x 4 d x = - 16 n π cos ⁡ n π x 4 2 4 = - 16 n π cos ⁡ n π + 16 n π cos ⁡ n π 2

Passo 4

Juntando as duas:

b n = - 16 n π cos ⁡ n π - - 16 n π cos ⁡ n π + 16 n π cos ⁡ n π 2

b n = - 16 n π cos ⁡ n π 2

Então nossa função fica:

f x = ∑ n = 1 ∞ b n sen ⁡ n π x L =   ∑ n = 1 ∞ - 16 n π cos ⁡ n π 2 sen ⁡ n π x 4

Passo 5

( b ) Esboce o gráfico da série de Fourier obtida no item ( a ) no intervalo [ - 12 ,   12 ] .

Para esboçar o gráfico dessa função vamos ter que expandi-la. E não podemos nos esquecer de que tem que ser uma expansão ímpar pra ficarmos com uma série de Fourier em senos! Todo esse desenvolvimento da letra a foi feito assumindo uma expansão ímpar de f x 😉

Vamos chamar de g x essa expansão. Nossa função ímpar tem que obedecer:

g - x = - g x

Então vamos ficar com:

g x = 2 x + 8 ,       s e - 4 ≤ x ≤ - 2 2 x ,       s e - 2 < x ≤ 0 2 x ,       s e   0 ≤ x < 2 2 x - 8 ,       s e   2 ≤ x ≤ 4

Agora é só repetir isso aí periodicamente:

g x = g x + 8

Outra coisa importante pra lembrar é que essa g x é a extensão ímpar da nossa f x , mas o que a letra está pedindo é o gráfico da série de Fourier! A única diferença é que, nos pontos de descontinuidade vamos ter que tirar a média! Assim olha:

Passo 6

( c ) Calcule o valor da série ∑ m = 0 ∞ ( - 1 ) m   ( 2 m   +   1 )

Vou logo avisando pra se preparar porque essa letra não é muito bonita não haha.

Bom, certamente nós vamos ter que usar aquela série de Fourier da letra a pra alguma coisa né? Então vamos jogar ela aqui:

f x = ∑ n = 1 ∞ - 16 n π cos ⁡ n π 2 sen ⁡ n π x 4

Usando a dica do enunciado sabemos que cos ⁡ n π 2 vale 0 quando n é ímpar! Então só os termos pares dessa série importam (porque os ímpares são 0 haha). Ficamos então com:

f x = ∑ k = 1 ∞ - 16 2 k π cos ⁡ 2 k π 2 sen ⁡ 2 k π x 4

f x = ∑ k = 1 ∞ - 8 k π cos ⁡ k π sen ⁡ k π x 2

Repara agora que apareceu um cos ⁡ k π ! Quando k for par, isso vale 1 e quando k for ímpar isso vale - 1 , então:

cos ⁡ k π = - 1 k

Substituindo:

f x = ∑ k = 1 ∞ - 8 k π - 1 k sen ⁡ k π x 2

Agora você tinha que ter uma iluminação divina de pensar em usar o ponto x = 1 ! Ué, mas por que x = 1 ? Porque assim aparece o termo sen ⁡ k π 2 que sabemos ser 0 quando k é par! Pois é! Ficaria assim: f 1 = ∑ k = 1 ∞ - 8 k π - 1 k sen ⁡ k π 2 = 2

Com isso, a gente pode desconsiderar os k pares e pegar só os ímpares pela mudança k = 2 m + 1 :

∑ m = 0 ∞ - 8 2 m + 1 π - 1 2 m + 1 sen ⁡ 2 m + 1 π 2 = 2

Repare que temos:

m = 0 ⇒ k = 1

m = 1 ⇒ k = 3

Show?

Ta ficando parecido com o que a letra c pede em! Vamos dar uma mexida agora naquele - 1 2 m + 1 que ta diferente:

∑ m = 0 ∞ - 8 2 m + 1 π - 1 2 m + 1 sen ⁡ 2 m + 1 π 2 =

= ∑ m = 0 ∞ - 8 2 m + 1 π - 1 - 1 2 m sen ⁡ 2 m + 1 π 2 =

= ∑ m = 0 ∞ 8 2 m + 1 π - 1 2 m sen ⁡ 2 m + 1 π 2 = 2

Po, mas - 1 elevado à um número par é sempre 1 ! Então:

∑ m = 0 ∞ 8 2 m + 1 π sen ⁡ 2 m + 1 π 2 = 2

Agora a gente desenvolve esse seno:

sen ⁡ 2 m + 1 π 2 = sen ⁡ m π + π 2

Agora você tinha que buscar lá do fundo do baú das lembranças que sen ⁡ θ + π 2 = cos ⁡ θ ! Aí ficamos com:

sen ⁡ m π + π 2 = cos ⁡ m π

E agora repara que se m for par, o cosseno vale 1 e se for ímpar, o cosseno vale - 1 ! Então:

cos ⁡ m π = - 1 m

Substituindo:

∑ m = 0 ∞ 8 2 m + 1 π - 1 n = 2

Opa, opa opa! Agora sim, ta quase idêntico ao que o enunciado pede! Só falta a gente se livrar dessas constantes:

8 π ∑ m = 0 ∞ - 1 n 2 m + 1 = 2

∑ m = 0 ∞ - 1 n 2 m + 1 = 2 π 8 = π 4

Ufa! Finalmente chegamos na resposta! Esses professores viajam demais né não?

Resposta

a   ∑ n = 1 ∞ -   16 n π cos ⁡ n π 2 s e n n π x 4

b

c   ∑ m = 0 ∞ ( - 1 ) m   ( 2 m   +   1 ) =   π 4

Exercícios de Livros Relacionados

(a) Sejam v 1 ,v 2 e v 3 três vetores ortogonais dois a dois
f x = x 2 2 ,- 2 ≤ x2 f x + 4 = f ( x ) (a) Esboce o gráfic
Considere a função f definida no problema 21, e seja e m = f
f x = x ,- 1 ≤ x1 f x + 2 = f ( x ) (a) Esboce o gráfico da