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Exercícios Resolvidos de Série de Fourier apenas em senos ou cossenos

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Enunciado

Considere a função

f x = 0 s e x ∈ - π , - π 2 ∪ π 2 , π 2 x s e x ∈ - π 2 , π 2

  1. Determine a série de Fourier de f
  2. Se S x é a soma da série encontrada em a), esboce o gráfico de S no intervalo - 3 π , 3 π , calcule S 39 π 2 e S 1223 π 8

Passo 1

a)

Vamos começar essa parada fazendo o gráfico dessa série de Fourier, mesmo que isso seja pedido no item b).

Repara que a nossa função f x está no intervalo de – π à π , isso nos diz que o período dessa função vai ser 2 π .

É bom sempre colocarmos essas retas tracejadas para delimitar os períodos para entendermos bem essa paradinha.

Repare nos pontos de descontinuidade. Como estamos representando a função para qual a série de Fourier converge, nos pontos de descontinuidade a função vai vale a média dos limites laterais. Neste caso

f - π 2 + + f - π 2 - 2 = π + 0 2 = π 2

E

f π 2 + + f π 2 - 2 = 0 + π 2 = π 2

Esse gráfico ajudou a vermos como fica a parada, a grande questão agora é fazer os termos dessa série.

Passo 2

Beleza, agora vamos montar o problema. Ele quer a série de Fourier dessa função. Então precisamos fazer

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n sen ⁡ n π x L

Com

a n = 1 L ∫ - L L f x cos ⁡ n π x L d x ,     n = 0,1 , 2,3 …

b n = 1 L ∫ - L L f x sen ⁡ n π x L d x ,     n = 1,2 , 3 …

Como já vimos o período é 2 π , então

2 L = 2 π

L = π

Passo 3

Vamos começar fazendo a 0

a 0 = 1 L ∫ - L L f x d x

Substituindo L

a 0 = 1 π ∫ - π π f x d x

Substituindo o valor de f x temos uma integral só naquela parte onde não é 0

a 0 = 1 π ∫ - π / 2 π / 2 2 x d x

Separando esse módulo

a 0 = 1 π ∫ - π / 2 0 2 - x d x + 1 π ∫ 0 π / 2 2 x d x

a 0 = 1 π - 2 x 2 2 - π / 2 0 + 1 π 2 x 2 2 0 π / 2

a 0 = 1 π - 2 . 0 2 2 - - 2 . - π 2 2 2 + 1 π 2 π 2 2 2 - 2 . 0 2 2

a 0 = 1 π π 2 4 + 1 π π 2 4

a 0 = π 2

Passo 4

Vamos agora para a n

a n = 1 π ∫ - π π f x cos ⁡ n x d x

Substituindo o valor de f x temos uma integral só naquela parte onde não é 0

a n = 1 π ∫ - π / 2 π / 2 2 x cos ⁡ n x d x

Separando esse módulo

a n = 1 π ∫ - π / 2 0 2 - x cos ⁡ n x d x + 1 π ∫ 0 π / 2 2 x cos ⁡ n x d x

a n = - 2 π ∫ - π / 2 0 x cos ⁡ n x d x + 2 π ∫ 0 π / 2 x cos ⁡ n x d x

Vamos resolver essa integral separada

Passo 5

A nossa integral é

∫ x cos ⁡ n x d x

Vamos resolver essa integral por partes

u = x → d u = d x

d v = cos ⁡ n x d x → v = 1 n sen ⁡ n x

Vamos ter

∫ x cos ⁡ n x d x = x n sen ⁡ n x - ∫ 1 n sen ⁡ n x d x

Assim vamos ter

∫ x cos ⁡ n x d x = x n sen ⁡ n x - 1 n - 1 n cos ⁡ n x

∫ x cos ⁡ n x d x = x n sen ⁡ n x + 1 n 2 cos ⁡ n x

Passo 6

Voltando para a n

a n = - 2 π ∫ - π / 2 0 x cos ⁡ n x d x + 2 π ∫ 0 π / 2 x cos ⁡ n x d x

a n = - 2 π x n sen ⁡ n x + 1 n 2 cos ⁡ n x - π / 2 0 + 2 π x n sen ⁡ n x + 1 n 2 cos ⁡ n x 0 π / 2

a n = - 2 π 0 n sen ⁡ 0 + 1 n 2 cos ⁡ 0 - - π 2 n sen ⁡ - n π 2 + 1 n 2 cos ⁡ - n π 2 + 2 π π 2 n sen ⁡ n π 2 + 1 n 2 cos ⁡ n π 2 - 0 n sen ⁡ 0 + 1 n 2 cos ⁡ 0

a n = - 2 π 1 n 2 - π 2 n sen ⁡ n π 2 - 1 n 2 cos ⁡ n π 2 + 2 π π 2 n sen ⁡ n π 2 + 1 n 2 cos ⁡ n π 2 - 1 n 2

a n = 1 n sen ⁡ n π 2 + 2 π n 2 cos ⁡ n π 2 - 2 π n 2 + 1 n sen ⁡ n π 2 + 2 π n 2 cos ⁡ n π 2 - 2 π n 2

a n = 2 n sen ⁡ n π 2 + 4 π n 2 cos ⁡ n π 2 - 4 π n 2

Passo 7

Vamos agora achar b n , mas veja que a função é par, logo podemos escrever que:

b n = 0

Passo 8

A nossa série de Fourier vai ser

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n x + b n sen ⁡ n x

Substituindo os valores dos coeficientes vão ser

S x = π 4 + ∑ n = 0 ∞ 2 n sen ⁡ n π 2 + 4 π n 2 cos ⁡ n π 2 - 4 π n 2 cos ⁡ n x

Passo 9

b)

Primeiro vamos relembrar como é o gráfico dessa parada

Queremos achar o valor da soma em x = 39 π 2 e x = 1223 π 2 . Primeiro vamos lembrar que a soma vai ser

S x = f x s e   x   n ã o   f o r   d e s c o n t í n u a f x + + f x - 2 s e   x   f o r   d e s c o n t í n u a

Temos que ver a que valor entre – π e π . Vamos começar com

x = 39 π 2

Queremos essa parada entre – π e π , temos ali 39 / 2 , que é 19,5 , ou seja,

x = 39 π 2 = 19,5 π

Os nossos intervalos do período vão ser sempre

- π < x < π

- 3 π < x < - π

π < x < 3 π

Ou seja, entre ímpares de π , como 19,5 é entre 19 e 21 , vamos ter

19 π < 39 π 2 < 21 π

Para voltarmos 21 π para π temos que subtrair todo mundo em 20 π , fazendo isso vamos ter

19 π - 20 π < 39 π 2 - 20 π < 21 π - 20 π

Isso vai ficar

- π < - π 2 < π

Ou seja,

S 39 π 2 = S - π 2

Esse ponto por acaso é um ponto de desigualdade, então

S 39 π 2 = S - π 2 = f - π 2 + + f - π 2 - 2 = π + 0 2 = π 2

Assim temos a soma onde queremos

S 39 π 2 = π 2

Passo 10

Vamos agora fazer a mesma coisa para

x = 1223 π 8

Temos que ver a que valor entre – π e π . Já vimos a lógica para passar para esse intervalo, então vamos começar dividindo

1223 8 = 152,875

Então

151 π < 1223 π 8 < 153 π

Para chegarmos no π temos que fazer uma subtração de todo mundo com 152 π

151 π - 152 π < 1223 π 8 - 152 π < 153 π - 152 π

Isso vai ficar

- π < 1223 π - 1216 π 8 < π

- π < 7 π 8 < π

Ou seja,

S 1223 π 8 = S 7 π 8

Esse ponto não é o de desigualdade, então, temos que olhar na função f x onde ele se encaixa. A função f x é

f x = 0 s e x ∈ - π , - π 2 ∪ π 2 , π 2 x s e x ∈ - π 2 , π 2

E 7 π / 8 é igual a 0,875 π , ou seja, esse valor está entre π / 2 e π , assim

S 1223 π 8 = S 7 π 8 = 0

Assim temos a soma onde queremos

S 1223 π 8 = 0

Resposta

a)

S x = π 4 + ∑ n = 0 ∞ 2 n sen ⁡ n π 2 + 4 π n 2 cos ⁡ n π 2 - 4 π n 2 cos ⁡ n x

b)

S 39 π 2 = π 2

S 1223 π 8 = 0

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