Exercícios Resolvidos de Série de Fourier apenas em senos ou cossenos

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Enunciado

  1. Determine a série de Fourier em cossenos da função:
  2. f : 0,1 → R

    x → 1 - x

  3. Determine o valor da soma

∑ m = 0 ∞ 1 2 m + 1 2

Passo 1

Letra a)

Vamos começar fazendo o gráfico dessa função. Como o problema pede uma série de cossenos, sabemos que queremos uma extensão par de f , certo?

Então, desenhamos f em [ 0,1 ] (em vermelho), espelhamos esse desenho em relação a y (em azul) e repetimos esse período (em verde):

Passo 2

Beleza, agora vamos montar o problema. Como a função é par, temos o seguinte:

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L    

a n = 2 L ∫ 0 L f x cos ⁡ n π x L d x ,       n = 0,1 , 2 …

b n = 0

Como o período dessa função é 2 , temos f x = f ( x + 2 ) ,esse é intervalo em que ela se repete. Lembra que a função representada por Série de Fourier tem que ser 2 L periódica? Então

2 L = 2     →     L = 1

Passo 3

Agora vamos calcular a 0

Fazendo n = 0 na expressão de a n e L = 1 , temos:

a 0 = 2 ∫ 0 1 f x d x

Como f x = 1 - x em 0 < x < 2 , temos:

a 0 = 2 ∫ 0 1 1 - x   d x = 2 x - x 2 2 0 1 = 1

Logo

a 0 = 1

Passo 4

Agora vamos calcular os outros a n ’s. Temos que:

a n = 2 ∫ 0 1 f x cos ⁡ n π x d x

O que nos dá

a n = 2 cos ⁡ n π x d d x - 2 ∫ 0 1 x cos ⁡ n π x

a n = 2 n π s e n ( n π x ) 0 1 - 2 ∫ 0 1 x cos ⁡ n π x d d x

a n = - 2 ∫ 0 1 x cos ⁡ n π x d x

Agora vamos fazer a integração por partes:

u = x       →       u ' = 1

v ' = cos ⁡ n π x       →         v = 1 n π sen ⁡ n π x

a n = - 2 x n π sen ⁡ v 0 1 + ∫ 0 1 2 n π sen ⁡ n π x d x

a n = - 2 n 2 π 2 cos ⁡ n π x 0 1

a n = - 2 n 2 π 2 cos ⁡ ( n π ) - 1

Como

cos ⁡ n π = - 1       n   é   í m p a r 1       n   é   p a r

Podemos escrever então

a n = - 2 n 2 π 2 - 1 - 1 = 4 n 2 π 2       n   é   í m p a r - 2 n 2 π 2 1 - 1 = 0             n   é   p a r                                    

Guarde isso!

Passo 5

Agora vamos substituir tudo o que encontramos, temos:

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x L + b n sen ⁡ n π x 2    

L = 1

a 0 = 1

a n = 4 n 2 π 2       n   é   í m p a r 0             n   é   p a r                                    

b n = 0

O que nos dá

f x = 1 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x    

Deixamos o a n por último que é mais chatinho.

Não podemos escrever direto a n = 4 n 2 π 2 no somatório porque isso só vale para n ímpar! Vamos definir então n = 2 k + 1 , porque isso garante que temos índices ímpares, ok? Para k = 0 temos n = 1 , portanto a série deve começar em k = 0 . Temos então

f x = 1 2 + ∑ k = 0 ∞ 4 ( 2 k + 1 ) 2 π 2 cos ⁡ 2 k + 1 π x    

Você pode poderia ter definido n = 2 k - 1 , porém, nesse caso, o somatório iria começar em k = 1 .

Passo 6

Letra b)

Agora queremos o valor de

∑ m = 0 ∞ 1 2 m + 1 2

Repare que, em x = 0 , temos

f 0 = 1 2 + ∑ k = 0 ∞ 4 ( 2 k + 1 ) 2 π 2    

Como

f 0 = 1 - 0 = 1

Temos

1 = 1 2 + ∑ k = 0 ∞ 4 ( 2 k + 1 ) 2 π 2    

∑ k = 0 ∞ 4 ( 2 k + 1 ) 2 π 2 = 1 2  

∑ k = 0 ∞ 1 ( 2 k + 1 ) 2 = π 2 8  

Resposta

  1. f x = 1 2 + ∑ k = 0 ∞ 4 ( 2 k + 1 ) 2 π 2 cos ⁡ 2 k + 1 π x    
  2. π 2 8

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