Exercícios Resolvidos de Série de Fourier apenas em senos ou cossenos

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Enunciado

( a ) Encontre a série de Fourier em senos da função f x = 1 - x 2 no intervalo ( 0,1 ) ;

( b ) Esboce o gráfico da extensão de f para a qual tal série converge.

Passo 1

( a ) Para encontrar uma série de Fourier em senos, buscamos a extensão ímpar da função f ( x ) . Assim, definimos:

f x = - 1 + x 2 ,       x ∈ ( - 1,0 ) 1 - x 2 ,       x ∈ ( 0,1 ) 0 ,       x = k ,       k ∈ Z

Passo 2

Para calcular a série de Fourier, primeiro identificamos o período P = 2 L = 2 . Isto é, f x + 2 = f ( x ) . Portanto, L = 1 .

Assim, a série é dada por:

f x = ∑ n = 1 ∞ b n s e n n π x L

Novamente, a série aparece só em senos por que ela é uma função ímpar.

Passo 3

Vamos avaliar os coeficientes da série:

b n = 1 L ∫ - L L f x sen ⁡ n π x L d x

b n = ∫ - 1 0 ( - 1 + x 2 ) sen ⁡ n π x d x + ∫ 0 1 ( 1 - x 2 ) sen ⁡ n π x d x

A integral do seno é fácil, mas a de x 2   s e n ( n π x ) nem tanto... Vamos usar integração por partes – duas vezes!

∫     x 2 ⏟ u s e n ( n π x ) ⏟ d x v ' = x 2 ⏟ u - cos ⁡ n π x n π ⏟ v - ∫     2 x ⏟ u ' - cos ⁡ n π x n π ⏟ v d x

∫     x 2   s e n n π x   d x = - x 2 cos ⁡ n π x n π + 2 n π ∫     x cos ⁡ n π x d x

E, agora:

∫     x ⏟ u c o s ( n π x ) ⏟ d x v ' = x ⏟ u sen ⁡ n π x n π ⏟ v - ∫     1 ⏟ . u ' sen ⁡ n π x n π ⏟ v d x

∫     x cos ⁡ ( n π x ) d x = x sen ⁡ n π x n π - 1 n π ∫     sen ⁡ n π x d x

∫     x cos ⁡ ( n π x ) d x = x sen ⁡ n π x n π - 1 n π - cos ⁡ n π x n π

∫     x cos ⁡ ( n π x ) d x = x sen ⁡ n π x n π + cos ⁡ n π x n 2 π 2

Portanto, combinando as fórmulas:

∫     x 2   s e n n π x   d x = - x 2 cos ⁡ n π x n π + 2 n π x sen ⁡ n π x n π + cos ⁡ n π x n 2 π 2

∫     x 2   s e n n π x   d x = - x 2 cos ⁡ n π x n π + 2 x sen ⁡ n π x n 2 π 2 + 2 cos ⁡ n π x n 3 π 3

Passo 4

Vamos voltar de onde paramos...

b n = ∫ - 1 0 ( - 1 + x 2 ) sen ⁡ n π x d x + ∫ 0 1 ( 1 - x 2 ) sen ⁡ n π x d x

Como f ( x ) e seno são ímpares, o produto é uma função par. Logo:

b n = 2 ∫ 0 1 ( 1 - x 2 ) sen ⁡ n π x d x

b n = 2 ∫ 0 1 sen ⁡ n π x d x - 2 ∫ 0 1 x 2 sen ⁡ n π x d x

b n = - 2 cos ⁡ n π x n π 0 1 - 2 - x 2 cos ⁡ n π x n π + 2 x sen ⁡ n π x n 2 π 2 + 2 cos ⁡ n π x n 3 π 3 0 1

Tiramos a parcela com seno porque ela vai dar zero mesmo:

b n = - 2 cos ⁡ n π x n π 0 1 - 2 - x 2 cos ⁡ n π x n π + 2 cos ⁡ n π x n 3 π 3 0 1

b n = - 2 cos ⁡ n π n π - 1 n π - 2 - cos ⁡ n π n π + 2 cos ⁡ n π n 3 π 3 - 2 n 3 π 3

b n = 2 n π + 4 n 3 π 3 - 4 cos ⁡ n π n 3 π 3

b n = 2 n π + 4 1 - cos ⁡ n π n 3 π 3

Passo 5

Uma forma alternativa é escrever cos ⁡ ( n π ) = - 1 n :

b n = 2 n π + 4 1 - - 1 n n 3 π 3

Beleza, mas olha isso:

n   p a r   ( n = 2 k ) →   b n = 2 n π + 4   1 - 1 n 3 π 3 = 2 n π

n   í m p a r   ( n = 2 k + 1 ) →   b n = 2 n π + 4   1 + 1 n 3 π 3 = 2 n π + 8 n 3 π 3

Passo 6

Assim, fica:

f x = ∑ n = 1 ∞ b n s e n n π x

f x = ∑ n = 1 , 3,5 … ∞ b n   ⏞ í m p a r s e n n π x + ∑ n = 2 , 4 , 6 … ∞ b n   ⏞ p a r s e n n π x

f x = ∑ k = 0 ∞ b 2 k + 1 s e n ( 2 k + 1 ) π x + ∑ k = 1 ∞ b 2 k s e n 2 k π x

f x = ∑ k = 0 ∞ 2 ( 2 k + 1 ) π + 8 2 k + 1 3 π 3 s e n ( 2 k + 1 ) π x + ∑ k = 1 ∞ 2 ( 2 k ) π s e n 2 k π x

f x = ∑ k = 0 ∞ 2 ( 2 k + 1 ) π + 8 2 k + 1 3 π 3 s e n ( 2 k + 1 ) π x + ∑ k = 1 ∞ 1 k π s e n 2 k π x

Passo 7

( b ) Para a função estendida, temos:

f x = - 1 + x 2 ,       x ∈ ( - 1,0 ) 1 - x 2 ,       x ∈ ( 0,1 ) 0 ,       x = k ,       k ∈ Z

Mas a série de Fourier converge para f ~ ( x ) , onde os pontos de continuidade são dados por:

f ~ - 1 = f ~ 1 = f 1 - + f ( 1 + ) 2 = 0 + 0 2 = 0

f ~ 0 = f 0 - + f ( 0 + ) 2 = - 1 + 1 2 = 0

Assim, f ~ x = f ( x ) . A figura abaixo ilustra a função f ~ ( x ) :

Resposta

a f x = ∑ k = 0 ∞ 2 ( 2 k + 1 ) π + 8 2 k + 1 3 π 3 s e n ( 2 k + 1 ) π x + ∑ k = 1 ∞ 1 k π s e n 2 k π x

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