Exercícios Resolvidos de Série de Fourier apenas em senos ou cossenos

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Enunciado

Questão 1: Seja f : 0 ,   2 → R a função

f x = sin ⁡ π x 4

b) Esboce o gráfico da série de Fourier obtida no item a no intervalo - 6 ,   6 .

Passo 1

Bem, aqui basta nós desenharmos a extensão par de f ~ e periódica de f :

f x = sin ⁡ π x 4       d e f i n i d o   d e   f : 0 ,   2 → R

A extensão tem a seguinte definição:

f ~ x = sin ⁡ π x 4 ,     p a r a   x ∈ 0 ,   2 - sin ⁡ π x 4 ,     p a r a   x ∈ - 2 ,   0

E

f ~ x + 4 = f ~ x

Isso significa que a nossa função é periódica de período 4 , tá ligado? Agora a gente pode desenhar!

Passo 2

Primeiro a gente vai desenhar o seno de 0 ,   2 :

sin ⁡ π x 4

Para isso, vamos encontrar alguns pontos que nos auxilie:

x = 0               →                 sin ⁡ 0 = 0

x = 2               →                 sin ⁡ π 2 = 1

x = 4               →                 sin ⁡ π = 0

Então:

Para a extensão par, f ~ x , basta fazer uma simetria com relação ao eixo x :

Agora basta repetir esse padrão de [ - 6 ,   6 ] :

Resposta

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