Exercícios Resolvidos de Série de Fourier apenas em senos ou cossenos

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Enunciado

Seja f : 0,2 → R , a função definida por

f x = 2 - x

  1. Determine a série de Fourier em cossenos de f
  2. Esboce o gráfico da série de Fourier obtida no item (a) no intervalo [-6,6]
  3. Calcule o valor da série

∑ k = 0 ∞ 1 2 k + 1 2

Passo 1

a)

Ele pediu a série de Fourier em cossenos, então precisamos fazer a extensão par periódica da função.

Na extensão par, que chamaremos de f x - , precisamos que: f x - = f - x -

Sendo que para valores positivos x ∈ 0,2 ,

f x - = f x = 2 - x

Assim:

f - x - = 2 - - x = 2 + x

Logo, nossa extensão vai ser:

f x - = 2 - x ,   x ≥ 0 2 + x ,   x < 0 f x - = f x + 4 -

Assim a função tem período 4 , ou seja, L = 2 . Com isso, vamos lembrar das nossas fórmulas

f x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n π x 2

a 0 = ∫ 0 L f x d x

a n = 2 L ∫ 0 L f x cos ⁡ n π x L d x ,     n ≥ 1

Onde L = 2 nesse caso.

Passo 2

Vamos calcular os coeficientes

a 0 = 2 2 ∫ 0 2 f x d x = ∫ 0 2 ( 2 - x ) d x = 2 x - x 2 2 0 2 = 2  

Para n ≥ 1

a n = 2 2 ∫ 0 2 f x cos ⁡ n π x 2 d x = ∫ 0 2 2 cos ⁡ n π x 2 d x - ∫ 0 2 x cos ⁡ n π x 2 d x

Calculando essa integral

a n = - 2 n π x - 2 sen ⁡ n π x 2 - 4 cos ⁡ n π x 2 n 2 π 2 0 2 = 4 - 4 cos ⁡ π n n 2 π 2

Agora que obtemos os coeficientes temos que a série será

f x = 1 + 4 ∑ n = 1 ∞ 1 - cos ⁡ ( n π ) n 2 π 2 cos ⁡ n π x 2

Passo 3

b)

Como temos uma extensão par da função, basta olharmos para definição

f x - = 2 - x ,   x ≥ 0 2 + x ,   x < 0 f x - = f x + 4 -

E traçarmos a restas de - 6 até 6 . Assim teremos o gráfico abaixo:

Passo 4

c)

Como a extensão par de f é continua em x = 0 podemos dizer, pelo Teorema de Convergência de Fourier que

f 0 = 1 + 4 ∑ n = 1 ∞ 1 - cos ⁡ ( n π ) n 2 π 2 = 2

Disso obtemos que

∑ n = 1 ∞ 1 - cos ⁡ ( n π ) n 2 = π 2 4

Beleza, isso tudo é muito legal, mas não fizemos isso à toa. Vamos analisar os valores de sen ⁡ n π 2

cos ⁡ n π = 1   s e   n = 2 k - 1   s e   n = 2 k + 1 ,   k ∈ Z +

Agora está começando a aparecer o que estamos procurando. Percebemos que daquele nosso somatório nós só teremos valores diferentes de zero quando n for impar. Substituindo n = 2 k + 1 e o termo 1 - cos ⁡ n π por 1 - - 1 = 2 , ficamos com

∑ n = 1 ∞ 1 - cos ⁡ ( n π ) n 2 π 2 = ∑ k = 0 ∞ 2 2 k + 1 2 = π 2 4

∑ k = 0 ∞ 1 2 k + 1 2 = π 2 8

Resposta

a)

f x = 1 + 4 ∑ n = 1 ∞ 1 - cos ⁡ ( n π ) n 2 π 2 cos ⁡ n π x 2

b)

c)

∑ k = 0 ∞ 1 2 k + 1 2 = π 2 8

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