Com o auxílio do Teorema de Green, calcule as seguintes integrais de linha:

(b) ∮ γ x 2 + y 2 d x + y ln ⁡ ( x + x 2 + y 2 d y ; γ é um contorno simples regular e fechado, que não envolve a origem.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a integral de linha, ∮ γ x 2 + y 2 d x + y ln ⁡ ( x + x 2 + y 2 d y , sobre a curva fechada γ , usando o Teorema de Green.

O teorema de Green vai nos ajudar a fugir de calcular a integral de linha pela definição, que é mais complicada, calculando uma integral dupla. Assim:

∮ γ F 1 d x + F 2 d y = ∬ D ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y

Onde D é o nosso domínio de integração, que é a região dentro da nossa curva γ , e que nós vamos assumir que esteja orientada positivamente (sentido anti-horário). Além disso, ∂ F 2 ∂ x e ∂ F 1 ∂ y são as derivadas parciais das componentes da nossa função vetorial.

Então, vamos calcular essas derivadas, analisar a região de integração e obter o valor da nossa integral.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando as nossas componentes F 1 = x 2 + y 2 e F 2 = y ln ⁡ ( x + x 2 + y 2 . Assim, derivando F 2 em relação a x , usando a regra do produto junto com a regra da cadeia, temos:

∂ F 2 ∂ x = ∂ ∂ x y ln ⁡ ( x + x 2 + y 2

∂ F 2 ∂ x = y 1 x + x 2 + y 2 1 + x x 2 + y 2

∂ F 2 ∂ x = y 1 x + x 2 + y 2 x + x 2 + y 2 x 2 + y 2

Simplificando:

∂ F 2 ∂ x = y x 2 + y 2

Da mesma forma, derivando F 1 = x 2 + y 2 em relação a y , temos:

∂ F 1 ∂ y = ∂ ∂ x x 2 + y 2

∂ F 1 ∂ y = 2 y 2 x 2 + y 2 = y x 2 + y 2

Passo 3

O enunciado nos disse que a nossa curva é um contorno simples regular e fechado, e a partir dela nós teríamos nossos limites de integração. Mas repare que o nosso integrando vai ser nulo, porque:

∮ γ x 2 + y 2 d x + y ln ⁡ ( x + x 2 + y 2 d y = ∬ D y x 2 + y 2 - y x 2 + y 2 d x d y

= ∬ D 0 d x d y = 0

Então, independente da região D , nosso resultado também é nulo.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

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