Com o auxílio do Teorema de Green, calcule as seguintes integrais de linha:

(c) ∮ γ 2 d x + x 2 - y tan ⁡ y   d y ; γ : x - 1 2 + y 2 = 1 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a integral de linha, ∮ γ 2 d x + x 2 - y tan ⁡ y   d y , sobre a curva fechada γ , usando o Teorema de Green.

O teorema de Green vai nos ajudar a fugir de calcular a integral de linha pela definição, que é mais complicada, calculando uma integral dupla. Assim:

∮ γ F 1 d x + F 2 d y = ∬ D ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y

Onde D é o nosso domínio de integração, que é a região dentro da nossa curva γ , e que nós vamos assumir que esteja orientada positivamente (sentido anti-horário). Além disso, ∂ F 2 ∂ x e ∂ F 1 ∂ y são as derivadas parciais das componentes da nossa função vetorial.

Então, vamos calcular essas derivadas, analisar a região de integração e obter o valor da nossa integral.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando as nossas componentes F 1 = 2 e F 2 = x 2 - y tan ⁡ y . Assim, derivando F 2 em relação a x , temos:

∂ F 2 ∂ x = ∂ ∂ x x 2 - y tan ⁡ y

∂ F 2 ∂ x = ∂ ∂ x x 2 - ∂ ∂ x y tan ⁡ y = 2 x - 0

∂ F 2 ∂ x = 2 x

Repare que os termos que contém apenas y vão funcionar como constantes na derivação em relação a x e, por isso tem sua derivada nula. Da mesma forma, derivando F 1 = 2 , que é uma constante, em relação a y , temos:

∂ F 1 ∂ y = ∂ ∂ y 2 = 0

Então, nossa integral vai ficar:

∮ γ F 1 d x + F 2 d y = ∬ D ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y

∮ γ 2 d x + x 2 - y tan ⁡ y   d y = ∬ D 2 x d x d y

Passo 3

Agora vamos definir nossa região de integração D . O enunciado nos disse que a nossa curva γ é a circunferência x - 1 2 + y 2 = 1 . Vamos lembrar que a equação de uma circunferência tem a forma:

x - x 0 2 + y - y 0 2 = r 2

Onde ( x 0 ,   y 0 ) é o centro da circunferência e r é o raio. Então, repare que a nossa circunferência tem centro ( 1 ,   0 ) e raio r = 1 . Sendo assim, usando as coordenadas polares:

x t = x 0 + r cos ⁡ t y t = y 0 + r sin ⁡ t

Vamos ter:

x t = 1 + cos ⁡ t y t = sin ⁡ t

Onde t é o ângulo, que varia no intervalo [ 0 ,   2 π ] e o raio varia no intervalo [ 0 ,   1 ] . Além disso, como temos 2 x no integrando, podemos escrever ele como 2 ( 1 + cos ⁡ t ) , usando a relação que definimos. Assim, nossa integral vai ficar:

∬ D 2 x d x d y = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 2 1 + cos ⁡ t   r d r d t

Passo 4

Integrando primeiro em relação a r , temos:

∫ 0 2 π ∫ 0 1 2 1 + cos ⁡ t   r d r d t = ∫ 0 2 π 2 1 + cos ⁡ t   r 2 2 0 1 d t

Aplicando os limites de integração em r :

∫ 0 2 π 2 1 + cos ⁡ t   1 2 - 0 2 d t

= ∫ 0 2 π 1 + cos ⁡ t   d t

Agora integrando em relação a t :

t + sin ⁡ t 0 2 π

Aplicando os limites em t :

2 π + sin ⁡ ( 2 π ) - 0 - sin ⁡ ( 0 )

= 2 π

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

2 π

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