Com o auxílio do Teorema de Green, calcule as seguintes integrais de linha:

(d) ∮ γ P x   d x + Q y   d y ; γ é um círculo de raio r e P ( x ) e Q ( y ) são funções de classe C 1 na região delimitada pela curva γ .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a integral de linha, ∮ γ P x   d x + Q y   d y , sobre a curva fechada γ , usando o Teorema de Green.

O teorema de Green vai nos ajudar a fugir de calcular a integral de linha pela definição, que é mais complicada, calculando uma integral dupla. Assim:

∮ γ F 1 d x + F 2 d y = ∬ D ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y

Onde D é o nosso domínio de integração, que é a região dentro da nossa curva γ , e que nós vamos assumir que esteja orientada positivamente (sentido anti-horário). Além disso, ∂ F 2 ∂ x e ∂ F 1 ∂ y são as derivadas parciais das componentes da nossa função vetorial, que nós podemos garantir que existem, porque o enunciado nos diz que P ( x ) e Q ( y ) são funções de classe C 1 .

Então, vamos calcular essas derivadas, analisar a região de integração e obter o valor da nossa integral.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando as nossas componentes F 1 = P ( x ) e F 2 = Q ( y ) . Repare que P é uma função de x e nós vamos derivá-la parcialmente em relação a y . Da mesma forma, temos Q como uma função de y , que vamos derivar parcialmente em relação a x . Então, elas vão funcionar como constantes na derivação e teremos:

∂ F 2 ∂ x = ∂ ∂ x Q y = 0

∂ F 1 ∂ y = ∂ ∂ y P ( x ) = 0

Então, nossa integral vai ficar:

∮ γ F 1 d x + F 2 d y = ∬ D ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y

∮ γ P x   d x + Q y   d y = ∬ D 0 d x d y

Então, independente da nossa região D , nossa integral tem valor nulo:

∬ D 0 d x d y = 0

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

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