Com o auxílio do Teorema de Green, calcule as seguintes integrais de linha:

(f) ∮ γ x 2   d x + x y   d y ; γ é a cardioide r = 1 + cos ⁡ θ , 0 ≤ θ ≤ 2 π .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a integral de linha, ∮ γ x 2   d x + x y   d y , sobre a curva fechada γ , usando o Teorema de Green.

O teorema de Green vai nos ajudar a fugir de calcular a integral de linha pela definição, que é mais complicada, calculando uma integral dupla. Assim:

∮ γ F 1 d x + F 2 d y = ∬ D ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y

Onde D é o nosso domínio de integração, que é a região dentro da nossa curva γ , e que nós vamos assumir que esteja orientada positivamente (sentido anti-horário). Além disso, ∂ F 2 ∂ x e ∂ F 1 ∂ y são as derivadas parciais das componentes da nossa função vetorial.

Então, vamos calcular essas derivadas, analisar a região de integração e obter o valor da nossa integral.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando as nossas componentes F 1 = x 2 e F 2 = x y . Primeiro derivando F 2 parcialmente em relação a x , temos:

∂ F 2 ∂ x = ∂ ∂ x x y = y

Agora derivando F 1 em relação a y , temos:

∂ F 1 ∂ y = ∂ ∂ y x 2 = 0

Então, nossa integral vai ficar:

∮ γ F 1 d x + F 2 d y = ∬ D ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y

∮ γ x 2   d x + x y   d y = ∬ D y d x d y

Passo 3

Agora precisamos definir nossa região de integração D . O enunciado nos disse que a curva γ é a cardioide r = 1 + cos ⁡ θ com 0 ≤ θ ≤ 2 π . Isso já nos dá a dica para usarmos as coordenas polares:

x = r cos ⁡ θ y = r sin ⁡ θ

J = r

Nosso integrando só tem y , então vamos usar apenas y = r sin ⁡ θ . Além disso, a gente já sabe que o ângulo varia no intervalo [ 0 ,   2 π ] e também podemos deduzir que o raio desse cardioide varia de r = 0 até r = 1 + cos ⁡ θ . Então, nossa integral dupla será:

∫ 0 2 π ∫ 0 1 + cos ⁡ θ ( r sin ⁡ θ ) r d r d θ

Assim, vamos integrar primeiro em relação a r :

∫ 0 2 π sin ⁡ θ r 3 3 0 1 + cos ⁡ θ d θ

Aplicando os limites de integração em r :

∫ 0 2 π sin ⁡ θ 1 3   1 + cos ⁡ θ 3 d θ

Colocando a constante do lado de fora da integral:

1 3 ∫ 0 2 π sin ⁡ θ 1 + cos ⁡ θ 3 d θ

Passo 4

Agora, antes de integrar, vamos substituir u = cos ⁡ θ , de modo que d u = - sin ⁡ θ d θ :

- 1 3 ∫ 0 2 π 1 + u 3 d u

Ainda tá complicadinho de integrar, então vamos chamar v = 1 + u , de modo que d v = d u :

- 1 3 ∫ 0 2 π v 3 d v

Agora integrando de acordo com a regrinha da potência, temos:

- 1 3 v 4 4 0 2 π

Antes de aplicar os limites de integração precisamos voltar a nossa variável original θ :

- 1 3 v 4 4 0 2 π = - 1 3 ( 1 + u ) 4 4 0 2 π = - 1 3 1 + cos ⁡ θ 4 4 0 2 π

Agora sim, aplicando os limites de integração em θ :

= - 1 12 ( 1 + cos ⁡ 2 π - 1 - cos ⁡ 0 )

= - 1 12 1 + 1 - 1 - 1 = 0

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

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