Com o auxílio do Teorema de Green, calcule as seguintes integrais de linha:

(a) ∮ γ sin ⁡ x + 4 x y d x + 2 x 2 - cos ⁡ y d y ; γ é um arco simples fechado e regular.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a integral de linha, ∮ γ sin ⁡ x + 4 x y d x + 2 x 2 - cos ⁡ y d y , sobre a curva fechada γ , usando o Teorema de Green.

O teorema de Green vai nos ajudar a fugir de calcular a integral de linha pela definição, que é mais complicada, calculando uma integral dupla. Assim:

∮ γ F 1 d x + F 2 d y = ∬ D ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y

Onde D é o nosso domínio de integração, que é a região dentro da nossa curva γ , e que nós vamos assumir que esteja orientada positivamente (sentido anti-horário). Além disso, ∂ F 2 ∂ x e ∂ F 1 ∂ y são as derivadas parciais das componentes da nossa função vetorial.

Então, vamos calcular essas derivadas, definir a região de integração e obter o valor da nossa integral de linha.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando as nossas componentes F 1 = sin ⁡ x + 4 x y e F 2 = 2 x 2 - cos ⁡ y . Assim, derivando F 2 em relação a x , temos:

∂ F 2 ∂ x = ∂ ∂ x 2 x 2 - cos ⁡ y

∂ F 2 ∂ x = 4 x

Repare que o termo que contém apenas y vai funcionar como constante na derivada em relação a x , e por isso seu resultado é nulo. Da mesma forma, derivando F 1 em relação a y , temos:

∂ F 1 ∂ y = ∂ ∂ x sin ⁡ x + 4 x y

∂ F 1 ∂ y = 4 x

Passo 3

O enunciado nos disse que a nossa curva é um arco simples fechado e regular, e a partir dela nós teríamos nossos limites de integração. Mas repare que o nosso integrando vai ser nulo, porque:

∮ γ sin ⁡ x + 4 x y d x + 2 x 2 - cos ⁡ y d y = ∬ D 4 x - 4 x d x d y

= ∬ D 0 d x d y = 0

Então, independente da região D , nosso resultado também é nulo.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

0

Exercícios de Livros Relacionados

Use o teorema de Green para calcular ∫ C F ⋅ d r . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.) F x , y = y 2 cos ⁡ x , x 2 + 2 y sen ⁡ x C é o triangulo de 0,0 a ( 2,6 ) a 2,0 a ( 0,
Se C é o segmento de reta ligando o ponto ( x 1 , y 1 ) ao ponto ( x 2 , y 2 ) , mostre que ∫ C xd y - yd x = x 1 y 2 - x 2 y 1 Se os vértices de um polígono, na ordem anti-horária, são x 1 , y 1 ,x 2
Utilize o Teorema de Green para demonstrar a fórmula de mudança de variáveis para as integrais duplas (Fórmula 15.9.9) para o caso onde f x , y = 1 : ∬ R d xd y = ∬ S ∂ x , y ∂ u , v d ud v Aqui, R é
Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
Use o método do Exercício 5 para calcular ∫ C F → ⋅ d r → , onde F → x , y , z = 2 x y i ^ + y 2 - x 2 j ^ x 2 + y 2 2 E C é qualquer curva fechada simples positivamente orientada que envolve a origem