Com o auxílio do Teorema de Green, calcule as seguintes integrais de linha:

(e) ∮ γ e x sin ⁡ y d x + e x cos ⁡ y d y ; γ é a elipse 3 x 2 + 8 y 2 = 24 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a integral de linha, ∮ γ e x sin ⁡ y d x + e x cos ⁡ y d y , sobre a curva fechada γ , usando o Teorema de Green.

O teorema de Green vai nos ajudar a fugir de calcular a integral de linha pela definição, que é mais complicada, calculando uma integral dupla. Assim:

∮ γ F 1 d x + F 2 d y = ∬ D ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y d x d y

Onde D é o nosso domínio de integração, que é a região dentro da nossa curva γ , e que nós vamos assumir que esteja orientada positivamente (sentido anti-horário). Além disso, ∂ F 2 ∂ x e ∂ F 1 ∂ y são as derivadas parciais das componentes da nossa função vetorial.

Então, vamos calcular essas derivadas, analisar a região de integração e obter o valor da nossa integral.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando as nossas componentes F 1 = e x sin ⁡ y e F 2 = e x cos ⁡ y . Assim, derivando F 2 em relação a x , usando a regra do produto, temos:

∂ F 2 ∂ x = ∂ ∂ x e x cos ⁡ y

∂ F 2 ∂ x = e x ∂ ∂ x cos ⁡ y + cos ⁡ y ∂ ∂ x e x

Repare que os termos que contém apenas y vão funcionar como constantes na derivação em relação a x e, portanto, sua derivada é nula:

∂ F 2 ∂ x = e x ∙ 0 + cos ⁡ y ∙ e x

∂ F 2 ∂ x = e x cos ⁡ y

Da mesma forma, derivando F 1 = e x sin ⁡ y em relação a y , temos:

∂ F 1 ∂ y = ∂ ∂ y e x sin ⁡ y

Usando a regra do produto:

∂ F 1 ∂ y = e x ∂ ∂ y sin ⁡ y + sin ⁡ y ∂ ∂ y ( e x )

∂ F 1 ∂ y = e x ∙ cos ⁡ y + sin ⁡ y ∙ 0

∂ F 1 ∂ y = e x cos ⁡ y

Passo 3

O enunciado nos disse que a nossa curva é elipse 3 x 2 + 8 y 2 = 24 , e a partir dela nós teríamos nossos limites de integração. Mas repare que o nosso integrando vai ser nulo, porque:

∮ γ e x sin ⁡ y d x + e x cos ⁡ y d y = ∬ D e x cos ⁡ y - e x cos ⁡ y d x d y

= ∬ D 0 d x d y = 0

Então, independente da região D , nosso resultado também é nulo.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

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