Usando o Teorema de Green, calcule as seguintes integrais de linha:

c) ∮ ( y + e x ) d x + 2 x + cos ⁡ y 2 d y , onde γ é a fronteira da região limitada pelas parábolas y = x 2 e x = y 2 percorrida no sentido anti-horário.

Passo 1

Olá meu amigo, tudo bem? Yuri aqui e agora iremos calcular essa querida integral utilizando o famoso teorema de Green. O teorema de Gree diz o seguinte:

Seja C uma curva plana simples, fechada, contínua por partes, orientada positivamente, e seja D a região delimitada por C. Se P e Q têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas sobre uma região aberta que contenha D, então

∫ c P d x + Q d y = ∫ ∫ ( ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y ) d A

então vamos aplicar esse teorema para o nosso caso aqui.

Passo 2

Aplicando o teorema para a nossa situação

∫ C   y + e x d x + 2 x + c o s ⁡ y 2 d y = ∬ D   ∂ ∂ x 2 x + c o s ⁡ y 2 - ∂ ∂ y y + e x d A = ∬ D   ( 2 - 1 ) d A = ∬ D   d A

Passo 3

A região D limitada por C é uma região clássica de limites

0 ≤ x ≤ 1

x 2 ≤ y ≤ x

E temos

∫ ∫ D d A = ∫ 0 1 ∫ x 2 x d y d x

= ∫ 0 1 x - x 2 d x

= 2 x 3 3 - x 3 3 0 1

= 2 3 - 1 3 = 1 3

Resposta

1 3

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