Usando o Teorema de Green, calcule as seguintes integrais de linha:

b) ∮ ( x + 2 y ) d x + x - 2 y d y , onde γ consiste do arco da parábola y = x 2 de 0,0   a   ( 1,1 ) e do segmento de reta ( 1,1 ) a ( 0,0 ) , orientada positivamente.

Passo 1

Olá meu amigo, tudo bem? Yuri aqui e agora iremos calcular essa querida integral utilizando o famoso teorema de Green. O teorema de Gree diz o seguinte:

Seja C uma curva plana simples, fechada, contínua por partes, orientada positivamente, e seja D a região delimitada por C. Se P e Q têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas sobre uma região aberta que contenha D, então

∫ c P d x + Q d y = ∫ ∫ ( ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y ) d A

então vamos aplicar esse teorema para o nosso caso aqui.

Passo 2

∮ ( x + 2 y ) d x + x - 2 y d y = ∫ ∫ 1 - 0 - 0 + 2 d A

∫ ∫ - 1 d A

Quem é o nosso d A ? É a região γ . Vamos ver quem é

Nosso dA é a região g mostrada acima.

Passo 3

então temos que devemos calcular a área da região dada,

∫ 0 1 ∫ x 2 x - d y d x

- ∫ 0 1 x - x 2 d x

- 1 x 2 2 - x 3 3 0 1

- 1 1 2 - 1 3

- 1 3 - 2 6

- 1 6

Resposta

- 1 6

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