Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ∮ C x y 2 d x + 2 x ² y d y , onde C é o triângulo com vértices 0,0   ,   2,2   e   ( 2,4 ) com orientação positiva

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício?

Para usarmos o Teorema de Green, vamos usar a seguinte relação:

∮ Ϭ D F 1 d x + F 2 d y = ∬ D d F 2 d x - d F 1 d y d x d y

E no caso, D vai ser nossa curva delimitando a função. A nossa curva vai ser justamente a região do nosso triângulo. Se a gente marcar os vértices do nosso triângulo, vamos achar:

E por meio dessa região, vamos achar as funções para calcular nossa integral.

Passo 2

Vamos começar calculando as derivadas da nossa primeira fórmula:

∮ C x y 2 d x + 2 x ² y d y

∮ Ϭ D F 1 d x + F 2 d y = ∬ D d F 2 d x - d F 1 d y d x d y

Com isso, vamos dizer que:

F 1 = x y ²

F 2 = 2 x ² y

Show, agora vamos derivar:

d F 2 d x = 4 x y

d F 1 d y = 2 x y

Substituindo:

∮ C x y 2 d x + 2 x ² y d y = ∬ D 4 x y - 2 x y d x d y

∮ C x y 2 d x + 2 x ² y d y = 2 ∬ D x y d x d y

Show, agora precisamos saber os intervalos de integração.

Passo 3

Vamos olhar para a nossa figura:

Se a gente for encontrar as funções que montam o nosso triângulo, teremos:

y = 2 x

y = x

Então:

x ≤ y ≤ 2 x

Show, e se olharmos para os valores de x , teremos:

0 ≤ x ≤ 2

Jogando na nossa integral:

2 ∬ D x y d x d y = 2 ∫ 0 2 ∫ x 2 x x y d y d x

Show, agora precisamos resolver as integrais.

Passo 4

Calculando, começando pela integral de dentro:

2 ∫ 0 2 ∫ x 2 x x y d y d x = 2 ∫ 0 2 x y 2 2 x 2 x d x

2 ∫ 0 2 ∫ x 2 x x y d y d x = ∫ 0 2 x y 2 x 2 x d x

2 ∫ 0 2 ∫ x 2 x x y d y d x = 3 ∫ 0 2 ( x 3 ) d x

Show, agora para a segunda integral:

2 ∫ 0 2 ∫ x 2 x x y d y d x = 3 4 x 4 0 2

2 ∫ 0 2 ∫ x 2 x x y d y d x = 12

Resposta

12

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