Calcule as assíntotas horizontais e verticais das seguintes funções.

f x = x 2 + 3 x + 2 x 2 + 2 x - 3

Passo 1

Oi galerinha, bora resolver essa comigo?

Para calcular as assíntotas horizontais e verticais da função

f x = x 2 + 3 x + 2 x 2 + 2 x - 3

Vamos analisar os comportamentos da função à medida que x se aproxima de valores grandes (no infinito) e à medida que se aproxima de valores que causam problemas no denominador (raízes do denominador).

As assíntotas verticais ocorrem quando o denominador se aproxima de zero, e as assíntotas horizontais ocorrem quando a função se aproxima de um valor constante à medida que x se torna grande.

Passo 2

  A s s í n t o t a s   V e r t i c a i s :

As assíntotas verticais ocorrem quando o denominador da função se aproxima de zero, ou seja, quando x se aproxima de valores que anulam o denominador x 2 + 2 x - 3

Vamos resolver a equação x 2 + 2 x - 3 = 0

Para encontrar as raízes do denominador:

x 2 + 2 x - 3 = 0

Podemos fatorar a equação:

x + 3 x + 1 = 0

Isso nos dá duas raízes: x = - 3   e   x = 1

Portanto, a função f ( x ) possui assíntotas verticais nos valores x = - 3   e   x = 1

Passo 3

A s s í n t o t a s   H o r i z o n t a i s :

As assíntotas horizontais ocorrem quando x se torna grande (positivo ou negativo), e a função se aproxima de um valor constante.

Para encontrar as assíntotas horizontais, observamos os termos dominantes no numerador e no denominador da função:

f x = x 2 + 3 x + 2 x 2 + 2 x - 3

À medida que x se torna grande, os termos dominantes são x 2 no numerador e no denominador.

Portanto, as assíntotas horizontais podem ser determinadas calculando a razão dos coeficientes dos termos x 2 no numerador e no denominador:

lim x → ∞ ⁡ x 2 + 3 x + 2 x 2 + 2 x - 3

Dividindo todos os termos por x 2 para simplificar:

lim x → ∞ ⁡ 1 + 3 x + 2 x 2 1 + 2 2 - 3 x 2

À medida que x se torna infinitamente grande, os termos 3 x e 2 x 2 vão para zero, e os termos 2 x e - 3 x 2 também vão para zero. Isso resulta em:

lim x → ∞ ⁡ 1 + 0 + 0 1 + 0 - 0

lim x → ∞ ⁡ 1

Passo 4

Portanto, a função f ( x ) não possui assíntotas horizontais, mas se aproxima de y = 1 à medida que x se torna grande.

Resumindo:

- Assíntotas Verticais: x = - 3   e   x = 1

- Assíntotas Horizontais: Não há assíntotas horizontais, mas a função se aproxima de y = 1 à medida que x   se torna grande.

Resposta

x = - 3   e   x = 1

y = 1

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