Calcule as assíntotas verticais e horizontais de

f x = x 2 + 4 x + 2 x 2 - 1

Passo 1

Faaaaaala pessoal, todo mundo animado pra matar mais uma questão?

Então, aqui temos uma fun��ão f ( x ) dada por:

f x = x 2 + 4 x + 2 x 2 - 1

Daí, precisamos calcular as assíntotas verticais e horizontais de f .

Pra determinar as assíntotas horizontais de uma função, precisamos calcular os seus limites quando x → ± ∞ . Ou seja:

lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) lim x → ∞ ⁡ f ( x )

Já pra determinar as assíntotas verticais, precisamos verificar se há algum ponto que nossa função explode pro infinito. Ou seja, algum ponto que é restrição no domínio de f porque o denominador zera.

Tranquilo até aqui? Então vamo nessa!

Passo 2

Vamos começar calculando as assíntotas horizontais.

Quando x → ∞ , temos:

lim x → ∞ ⁡ f ( x ) = li m x → ∞ ⁡ x 2 + 4 x + 2 x 2 - 1

Bom, se substituirmos o valor que x está tendendo na nossa função, teremos que tanto o numerador como o denominador tendem a . Então, ficaríamos com uma indeterminação do tipo:

∞ ∞

Daí, vamos aproveitar que temos um polinômio no numerador e no denominador, e colocar o maior expoente de x em evidência. Se liga só:

x 2 + 4 x + 2 x 2 - 1 = x 2 1 + 4 x + 2 x 2 x 2 1 - 1 x 2

= 1 + 4 x + 2 x 2 1 - 1 x 2

Daí, substituindo no limite, teremos:

lim x → ∞ ⁡ x 2 + 4 x + 2 x 2 - 1 = lim x → ∞ ⁡ 1 + 4 x + 2 x 2 1 - 1 x 2

Agora, quando fazemos x → ∞ , os termos com x no denominador irão zerar. E vamos ficar com:

lim x → ∞ ⁡ 1 + 4 x + 2 x 2 1 - 1 x 2 = 1 + 0 + 0 1 - 0

= 1

Opaaa! Então, quando x → ∞ , a nossa f tende a 1 . Logo, temos uma assíntota horizontal em f ( x ) = 1 .

Já quando x → - ∞ , temos:

lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) = lim x → - ∞ ⁡ x 2 + 4 x + 2 x 2 - 1

Novamente, se substituíssemos x → ∞ , teríamos uma indeterminação do tipo ∞ / ∞ . Portanto, colocando a maior potência de x em evidência, temos:

lim x → - ∞ ⁡ x 2 + 4 x + 2 x 2 - 1 = lim x → - ∞ ⁡ 1 + 4 x + 2 x 2 1 - 1 x 2

= 1 + 0 + 0 1 - 0 = 1

Excelente! Quando x → - ∞ , temos também uma assíntota horizontal em f x = 1 .

Muito bom! Vamos para as assíntotas verticais.

Passo 3

Aqui precisamos analisar se há algum ponto x para o qual nossa função tende a infinito.

Para isso, vamos analisar a nossa expressão de f :

f x =   x 2 + 4 x + 2 x 2 - 1

Pra essa função tender a infinito, o denominador precisa zerar. Assim:

x 2 - 1 = 0

∴ x = ± 1

Portanto, se x = ± 1 temos que nossa f → ± ∞ , e temos, portanto, assíntotas verticais nesses pontos.

É isso galera! Conseguiram entender direitinho?

Responde Aí!

Resposta

Assíntotas horizontais: f x = 1

Assíntotas verticais: x = ± 1

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