1. Defina:
  1. Assíntotas verticais.

Passo 1

Fala aí!!! Tudo belezinha com você? Bora comigo matar essa questão e garantir aquela aprovação de milhões???

Bom, vamos entender esse enunciado aqui. Ele está querendo que a gente defina o que são assíntotas verticais. Então vamos precisar ir lá no fundo do nosso baú cerebral e buscar as informações dessa definição aí. Para isso, nada melhor que entendermos direitinho o que elas são. Correto?

Passo 2

As assíntotas verticais são retas verticais ao qual a nossa função se aproxima sem de fato tocá-las. A função cresce ou decresce infinitamente próxima as assíntotas, como no caso do gráfico da função y = 1 x   -   1 :

Se a gente olhar com calma quando temos um y muuuito grande (tanto positivo quanto negativo) parece que a nossa função praticamente encosta na reta x = 1 .

Então, isso significa que essa reta é nossa assíntota vertical.

Agora vamos entender o porquê de isso estar acontecendo.

Repare que quando a função chega muito perto de x = 1   (pela direita e pela esquerda) ela explode pra mais e pra menos infinito. Opa, então o que a gente fez foi, basicamente, resolver esses limites aqui, olha só:

lim x → 1 - ⁡ 1 x - 1 = - ∞

lim x → 1 + ⁡ 1 x - 1 = + ∞

Esse é o lance, o limite de x tendendo a algum valor deverá ir para ± ∞ . E esse valor que faz isso com a função será o valor da nossa assíntota. Sacou?!

Mas como a gente descobre que tal valor é esse?

Se olharmos com calma, percebemos que x = 1 faria nosso denominador resultar zerar, ou seja, daria problema na nossa função. Pois o x = 1 não está no domínio da nossa função.

Então, para achar as assíntotas verticais, vamos basicamente procurar valores de x que não estejam contidos no domínio da função.

Os principais casos que podemos analisar para achar assíntotas verticais são casos onde temos funções quocientes onde o denominador não pode ser zero, funções onde temos raízes de índice par, pois o radicando não pode ser negativo e funções logaritmo onde o argumento não pode ser zero.

Veja outros exemplos:

y = 1 ( x - 2 ) ( x - 3 )

Para x = 2 ou x = 3 nosso denominador zera e se calcularmos o limite de x → 2 ou x → 3 , ele irá para ± ∞ .

Assim, x = 2 e x = 3 são assíntotas verticais.

Sendo assim, depois de achar esses valores que dão problema na função, a gente resolve o limite com x   tendendo pra eles tanto pela direita quanto pela esquerda:

lim x → a - ⁡ f ( x )

lim x → a + ⁡ f ( x )

Se um desses dois limites explodirem para mais ou para menos infinito, ou seja, se o limite tendendo a a pela esquerda ou o limite tendendo a a pela direita resultarem em + ∞ ou - ∞ , é só partir para o abraço, porque você terá encontrado uma assíntota vertical naquele sentido.

Em resumo, para a gente achar possíveis assíntotas verticais nós temos que:

  1. Achar valores de x   que dão problema na nossa função, ou seja, que não estão no domínio dela (lembrar dos principais casos);
  2. Fazer os limites laterais da função com x tendendo aos valores problemáticos;
  3. Se um desses limites laterais explodirem para mais ou menos infinito, quer dizer que temos uma assíntota vertical;
  4. Se os dois limites resultarem em constantes, não temos assíntotas verticais.

Passo 3

Agora vamos para a definição formal. Que é o que o problema pediu, né? Rsrs

Definição: Uma reta x = a é uma assíntota vertical do gráfico de uma função y = f ( x ) se

lim x → a + ⁡ f ( x ) = ± ∞ ou lim x → a - ⁡ f ( x ) = ± ∞

E isso é tudo pessoal. Bora pra próxima.

Resposta

No desenvolvimento.

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Estime a assíntota horizontal da função f x = 3 x 3 + 500 x 2 x 3 + 500 x 2 + 100 x + 2000 através do gráfico de f para - 10 ≤ x ≤ 10 . A seguir, determine a equação da assíntota calculando o limite.
Faça um gráfico de f x = s e n x x Quantas vezes o gráfico cruza a assíntota?
Encontre as assíntotas horizontais e verticaisy = (2 x^2 + x - 1)/(x^2 + x - 2)
Encontre as assíntotas verticais da função y = x x 2 - x - 2 Confirme sua resposta da parte a fazendo o gráfico da função.
Nos exercícios de 49 a 56, encontre as assíntotas horizontal e vertical e faça um esboço do gráfico da equação 5 6 )x 2 y + 4 x y - x 2 + x + 4 y - 6 = 0