Determine as assíntotas horizontais e verticais, caso existam, da função f definida por:

f x = x 2 - 7 x - 8 x 2 - 1

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma função f ( x ) e pediu pra gente encontrar as assíntotas horizontais e verticais. Tá, mas o que são assíntotas mesmo?

Nós podemos dizer que uma assíntota vertical ou horizontal nada mais é do que uma reta imaginária que delimita a aproximação de uma função no gráfico, à medida que essa função cresce ou decresce. Ou seja, quando temos uma função que cresce ou decresce infinitamente e vai se aproximando, chega bem pertinho de um eixo (ou reta), mas sem nunca encostar nele. Tipo assim:

Beleza, mas como é que eu descubro essas assíntotas? Para calcular a assíntota horizontal, a gente precisa pegar um x   muuuuito grande (ou seja, tendendo pro infinito) nas duas direções, positiva e negativa, e encontrar o limite da função. Então, vamos fazer:

lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = b

lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) = b

Onde b ∈ R , e nós vamos achar quem é b para definir nossa assíntota horizontal. E para as assíntotas verticais? A ideia é parecida, só que nós vamos procurar valores de x que podem dar problema no nosso domínio, tipo um denominador que possa dar zero, sabe? Depois de achar esses valores que dão problema na função, a gente resolve os limites com x tendendo pra eles tanto pela direita quanto pela esquerda:

lim x → a - ⁡ f ( x )

lim x → a + ⁡ f ( x )

Se um desses dois limites derem + ∞ ou - ∞ , nós vamos ter encontrado uma assíntota vertical nesse sentido de a .

Passo 2

Beleza, vamos começar analisando nossa função:

f x = x 2 - 7 x - 8 x 2 - 1

A gente pode escrever essa função também como um produto de polinômios no numerado e no denominador, assim:

f x = x - 8 x + 1 x + 1 x - 1

Que é nossa forma fatorada. Cortando os termos semelhantes em cima e embaixo, temos:

f x = x - 8 x - 1

Isso vai facilitar pra gente na hora de calcular os limites. Note que mesmo cortando o ( x + 1 ) em cima e embaixo, x = - 1 estaria fora do domínio da função, porque isso faria zerar o denominador original.

Ok, agora vamos procurar nossas assíntotas.

Passo 3

Nós já sabemos pelo passo 1 que assíntotas verticais aparecem onde o domínio não está definido e as horizontais aparecem quando usamos o limite em ± ∞ .

Começando com as verticais, o domínio não está definido em x = 1 . Então, vamos calcular os limites laterais:

lim x → 1 - ⁡ f ( x ) = lim x → 1 - ⁡ x - 8 x - 1 = 1 - 8 1 - 1 = - 7 0

A gente sabe que não existe divisão por zero, então a gente imagina que o denominador chega, na verdade, muito pertinho do zero. Quando isso acontece, a minha função vai pra infinito, mas pro lado negativo, já que ela tá tendendo a 1 pela esquerda. Então,

lim x → 1 - ⁡ f ( x ) = - ∞

Agora calculando o limite pela direita, temos:

lim x → 1 + ⁡ f ( x ) = lim x → 1 - ⁡ x - 8 x - 1 = 1 - 8 1 - 1 = - 7 0

E dessa vez ela tende a infinito pelo lado positivo, então:

lim x → 1 + ⁡ f ( x ) = + ∞

Assim, nós podemos dizer que temos uma assíntota vertical em x = 1 .

OBS: Repara que x = - 1 também não está no domínio da função original, já que aparece um x + 1 no denominador de f . Porém, o que acontece é que quando calcularmos seu limite para x → - 1 , veremos que ele converge para um valor, e não para ± ∞ , então não constitui uma assíntota vertical. Olha só:

lim x → - 1 - ⁡ f x = l i m x → - 1 - x - 8 x - 1 = - 1 - 8 - 1 - 1 = 9 2

lim x → 1 + ⁡ f ( x ) = l i m x → 1 + x - 8 x - 1 = 9 2

Passo 4

Agora vamos procurar nossas assíntotas horizontais, fazendo o limite de f ( x ) tender para ± ∞ .

lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = lim x → + ∞ ⁡ x - 8 x - 1

Vamos dividir todo mundo por x :

lim x → + ∞ ⁡ x - 8 x - 1 = lim x → + ∞ ⁡ 1 - 8 x 1 - 1 x

Agora percebe que quando x for pra infinito, eu vou ter um número constante dividindo outro muito, muito grande? E aí o que acontece é que essa divisão vai pra 0 , porque é como se eu tivesse 8 ∞ = 0 e 1 ∞ = 0 . Aí nossa função, depois de aplicada o limite, fica:

lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = 1 - 0 1 - 0 = 1

E calculando para - ∞ , fica bem parecido:

lim x → - ∞ ⁡ f x = lim x → - ∞ ⁡ x - 8 x - 1

= lim x → - ∞ ⁡ 1 - 8 x 1 - 1 x = 1 - 0 1 - 0 = 1

Assim, achamos a mesma assíntota horizontal em y = 1 .

O enuncia não pede o gráfico, mas só pra gente visualizar como ficam nossas assíntotas, elas estão aí em vermelho ( x = 1 e y = 1 ):

Encerramos o exercício. Valeu, galera! 😉

Resposta

A s s í n t o t a   h o r i z o n t a l : y = 1

A s s í n t o t a   v e r t i c a l : x = 1

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Estime a assíntota horizontal da função f x = 3 x 3 + 500 x 2 x 3 + 500 x 2 + 100 x + 2000 através do gráfico de f para - 10 ≤ x ≤ 10 . A seguir, determine a equação da assíntota calculando o limite.
Faça um gráfico de f x = s e n x x Quantas vezes o gráfico cruza a assíntota?
Encontre as assíntotas horizontais e verticaisy = (2 x^2 + x - 1)/(x^2 + x - 2)
Encontre as assíntotas verticais da função y = x x 2 - x - 2 Confirme sua resposta da parte a fazendo o gráfico da função.
Nos exercícios de 49 a 56, encontre as assíntotas horizontal e vertical e faça um esboço do gráfico da equação 5 6 )x 2 y + 4 x y - x 2 + x + 4 y - 6 = 0