Exercícios Resolvidos de Assíntota Horizontal e Vertical

UNICAMP, Cálculo 1, P1 - 2017.1 - 5ª Vespertino, Questão 5

Determine as assíntotas verticais e horizontais da função

g x =   x 2 + 2 x - 4

Passo 1

Vamos começar calculando as assíntotas verticais. Só há um ponto em que a função apresenta um problema, que é o ponto x = 4 , pois ele torna o denominador igual a zero. Vamos ver se esse candidato é assíntota vertical fazendo os limites laterais. Começando com x 4 + , temos:

lim x 4 + x 2 + 2 x - 4 = lim x 4 + 4 2 + 2 0 + = +  

Agora para x 4 - , ficamos com:

lim x 4 - x 2 + 2 x - 4 = lim x 4 + 4 2 + 2 0 - = -  

Oba! x = 4 é assíntota vertical.

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Passo 2

Agora vamos às assíntotas horizontais. Primeiro, vamos reescrever o limite. Saca só:

lim   ± x 2 + 2 x - 4 = lim   ± x 2 1 + 2 x 2 x 1 - 4 x = lim   ± x x 1 + 2 x 2 1 - 4 x

Se x > 0 , então x = x , e temos:

lim   + x 2 + 2 x - 4 =   lim   + x x 1 + 2 x 2 1 - 4 x = 1 1 + 0 1 + 0 = 1  

E se x < 0 , então x = - x , e temos:

lim   - x 2 + 2 x - 4 =   lim   - - x x 1 + 2 x 2 1 - 4 x = - 1 1 + 0 1 + 0   =   - 1

Portanto, temos duas assíntotas horizontais: y = 1 e y = - 1

Resposta

Assíntotas verticais: x = 4

Assíntotas horizontais: y = 1 e y = - 1

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