Exercícios Resolvidos de Assíntota Horizontal e Vertical

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Enunciado

Determine as assíntotas verticais e horizontais da função

g x =   x 2 + 2 x - 4

Passo 1

Vamos começar calculando as assíntotas verticais. Só há um ponto em que a função apresenta um problema, que é o ponto x = 4 , pois ele torna o denominador igual a zero. Vamos ver se esse candidato é assíntota vertical fazendo os limites laterais. Começando com x → 4 + , temos:

lim x → 4 + ⁡ x 2 + 2 x - 4 = lim x → 4 + ⁡ 4 2 + 2 0 + = +   ∞

Agora para x → 4 - , ficamos com:

lim x → 4 - ⁡ x 2 + 2 x - 4 = lim x → 4 + ⁡ 4 2 + 2 0 - = -   ∞

Oba! x = 4 é assíntota vertical.

Passo 2

Agora vamos às assíntotas horizontais. Primeiro, vamos reescrever o limite. Saca só:

lim x  →   ± ∞ ⁡ x 2 + 2 x - 4 = lim x  →   ± ∞ ⁡ x 2 1 + 2 x 2 x 1 - 4 x = lim x  →   ± ∞ ⁡ x x 1 + 2 x 2 1 - 4 x

Se x > 0 , então x = x , e temos:

lim x  →   + ∞ ⁡ x 2 + 2 x - 4 =   lim x  →   + ∞ ⁡ x x 1 + 2 x 2 1 - 4 x = 1 1 + 0 1 + 0 = 1  

E se x < 0 , então x = - x , e temos:

lim x  →   - ∞ ⁡ x 2 + 2 x - 4 =   lim x  →   - ∞ ⁡ - x x 1 + 2 x 2 1 - 4 x = - 1 1 + 0 1 + 0   =   - 1

Portanto, temos duas assíntotas horizontais: y = 1 e y = - 1

Resposta

Assíntotas verticais: x = 4

Assíntotas horizontais: y = 1 e y = - 1

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