15) Determine as equações das assíntotas verticais e horizontais do gráfico da função dada.

f x = x x 2 - 4

Passo 1

Falaa gente bonita do Responde Aí!

Bora relembrar rapidinho como que encontramos as assíntotas horizontais e verticais sem precisar desenhar o gráfico.

Assíntota Horizontal: Basicamente precisamos calcular dois limites:

lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) e lim x →   + ∞ ⁡ f x

Se um desses limites assumir valor finito, então esse valor representa uma assíntota horizontal. Bem simples né?

Assíntota Vertical: Aqui precisamos analisar a nossa função f e procurar algum valor de x que possa causar indeterminação matemática. Na maioria dos casos, vamos procurar pontos onde a função está “dividindo por zero” na sua lei de formação.

Show, agora que já entendemos o que a questão está pedindo e como calcular isso, vamos às contas.

Passo 2

Começando pelo cálculo das possíveis assíntotas horizontais, temos:

lim x →   - ∞ ⁡ x x 2 - 4 = l i m x →   - ∞ x | x | 1 - 4 x 2   =   - 1  

Ótimo! y = -   1 é uma assíntota horizontal!

lim x →   + ∞ ⁡ x x 2 - 4 = l i m x →   + ∞ x x 1 - 4 x 2 = + 1

Maravilha! y = 1 também é assíntota horizontal!

Passo 3

Vamos em busca das assíntotas verticais!

Analisando nossa função, vemos que o polinômio do seu denominador pode zerar se, e somente se:

x 2 - 4 = 0 ⇔ x 2 - 4 = 0 ⇔ x 2 = 4 ⇔ x =   ± 2

Isso significa pessoal, que temos dois brilhantes candidatos a assíntota vertical. Mas para aprová-los precisamos checar se pelo menos um de seus limites laterais tende ao infinito.

lim x → - 2 - ⁡ x x 2 - 4 =   l i m x → - 2 -   x | x | 1 - 4 x 2

Puts, temos um probleminha aí. Porque se x → - 2 - , então 4 x 2 >   1 ⇒ 1 - 4 x 2 < 0 . Porém sabemos que isso não pode acontecer dentro da raiz quadrada.

Mas calma, ainda tem o outro limite lateral, se pelo menos ele tender ao infinito, está valendo!

lim x → - 2 + ⁡ x x 2 - 4 =   l i m x → - 2 +   x | x | 1 - 4 x 2 =   - ∞

Ufaa, quase que não dava certo. Mas agora podemos confirmar, x = - 2 realmente é uma assíntota vertical.

Vamos para a outra raiz do denominador:

lim x → + 2 + ⁡ x x 2 - 4 =   l i m x → + 2 +   x | x | 1 - 4 x 2 =   + ∞

(Se calculássemos o outro limite lateral ele também não existiria por causa da condição de existência da raiz quadrada, igual ao que ocorreu para x →   - 2 - .)

Aee, x = 2 também é assíntota vertical.

Então é isso, mais uma questãozinha finalizada galera!

Resposta

Assíntota Horizontal: y =   - 1 e y = 1 .

Assíntota Vertical: x =   - 2 e x = 2 .

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Faça um gráfico de f x = s e n x x Quantas vezes o gráfico cruza a assíntota?
Encontre as assíntotas horizontais e verticaisy = (2 x^2 + x - 1)/(x^2 + x - 2)
Encontre as assíntotas verticais da função y = x x 2 - x - 2 Confirme sua resposta da parte a fazendo o gráfico da função.
Nos exercícios de 49 a 56, encontre as assíntotas horizontal e vertical e faça um esboço do gráfico da equação 5 6 )x 2 y + 4 x y - x 2 + x + 4 y - 6 = 0