Encontre as assíntotas do gráfico da função

f ( x ) = x 2 + x - 2 x + 1

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Nosso objetivo é encontrar as assíntotas da função

f ( x ) = x 2 + x - 2 x + 1

Mas o que são as assíntotas mesmo?

Assíntotas são retas que o gráfico da função fica muito perto, mas nunca chega. O gráfico fica assintoticamente perto. Por exemplo, o gráfico da função e x nunca é zero, mas cada vez que reduzimos o valor de x o gráfico vai se aproximando assintoticamente do zero. Logo a reta y = 0 é uma assíntota desse gráfico.

Costumamos trabalhar com duas assíntotas, a vertical e a horizontal. GERALMENTE, as assíntotas verticais são encontradas quando analisamos os limites da função no infinito e no menos infinito. E as assíntotas verticais surgem, GERALMENTE, quando temos uma divisão zero na nossa função.

Com isso em mente, vamos descobrir as assíntotas da função

f ( x ) = x 2 + x - 2 x + 1

Passo 2

Queremos encontrar as assíntotas de

f ( x ) = x 2 + x - 2 x + 1

E como comentamos no passo 1, essas assíntotas GERALMENTE são encontradas nos limites no infinito da função, e quando o denominador é zero. Vamos verificar quando o denominador é zero

Temos que

f ( x ) = x 2 + x - 2 x + 1

= ( x - 1 ) ( x + 2 ) x + 1

Podemos ver que o denominador da função será zero quando x = - 1 . Logo a assíntota vertical desse gráfico é a reta

x = - 1

Passo 3

Mas e as assíntotas horizontais? Para isso, precisamos verificar os limites no infinito. Vamos começar calculando

l i m x → ∞ x 2 + x - 2 x + 1

colocando x em evidência

= l i m x → ∞ x ( 1 + 1 / x - 2 / x 2 ) ( 1 + 1 / x )

que cresce sempre que aumentamos x . Logo

l i m x → ∞ x 2 + x - 2 x + 1 = ∞

Como vimos que a função cresce sempre que aumentamos x , então ela decresce sempre que diminuímos x . Ou seja,

l i m x → - ∞ x 2 + x - 2 x + 1 = - ∞

Como os limites no infinitos não são constantes, isso quer dizer que não temos assíntotas horizontais. Logo chegamos a conclusão que as assíntotas da função são as retas

x = - 1

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

x = - 1

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