Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem

Parte 1: determine os pontos de máximos, mínimos, inflexão, bem como os intervalos das concavidades

Parte 2: determine as assíntotas (quando existirem) e o esboço do gráfico.

a )   f x = x 4 + 2 x 3 + 1

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa função aqui

f x = x 4 + 2 x 3 + 1

E pede para esboçar o gráfico das funções e as equações das assíntotas.

E agora, quais informações vamos precisar? Muitas! Por isso nossa resolução vai estar dividida em duas partes! Nessa primeira parte vamos achar os pontos críticos, avaliar os sinais da derivada primeira e segunda e assim determinar pontos de máximo, mínimo e de inflexão, bem como as concavidades.

Beleza?

E depois? Na segunda parte vamos calcular os limites no infinito e determinar os limites em torno dos pontos onde a função não está definida: vamos investigar as assíntotas! No fim, juntando tudo isso vamos ter o gráfico da função!

Bora lá!

Passo 2

A primeira derivada da nossa função é

f x = x 4 + 2 x 3 + 1

f ' x = 4 x 3 + 6 x 2 = 2 x 2 ( 2 x + 3 )

E onde ela é zero

f ' x = 0

2 x 2 2 x + 3 = 0

x = 0   e   x = - 3 2

Beleza?

Vamos analisar a derivada primeira em torno desses pontos:

x = - 3 2 temos um ponto de mínimo e que em x = 0 a função tem uma derivada nula, mas não chega a trocar de sinal, então pode ser só ponto de inflexão.

Temos também onde a função é crescente e decrescente:

  • Crescente: - 3 2 , + ∞
  • Decrescente: - ∞ , - 3 2

Passo 3

Agora vamos analisar a derivada segunda:

f ' x = 4 x 3 + 6 x 2

f ' ' x = 12 x 2 + 12 x

Agora igual a zero

12 x 2 + 12 x = 0 → 12 x x + 1 = 0

x = 0   e   x = - 1

Analisando o sinal em torno desse ponto:

Temos aqui os intervalos de concavidade da função:

  • Côncava para cima: - ∞ , - 1   e   ( 0 , + ∞ )
  • Côncava para baixo: ( - 1,0 )

E é isso! Até a parte dois!

Resposta

d

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