Exercícios Resolvidos de Assíntota Horizontal e Vertical

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Enunciado

Seja

g x =   x 2 + 9 x 2 - 9

  1. Determine o domínio da função g
  2. Encontre as assíntotas verticais e horizontais da função g . Calcule todos os limites necessários.

Passo 1

  1. Bom, sabemos que não existe raiz quadrada de número negativo nem denominador igual a zero. Então:
  2. x 2 + 9 x 2 - 9   ≥ 0

    E

    x 2 - 9   ≠ 0

    Além disso, como x 2 + 9 > 0 então x 2 - 9 > 0 , caso contrário, a fração dentro da raiz seria negativa e isso nunca pode acontecer. Resolvendo as inequações e desigualdades:

    x 2 - 9 > 0   →   x 2 > 9   → x   < - 3   e   x > 3

    x 2 - 9   ≠ 0   →   x ≠   ± 3

    Juntando esses resultados, descobrimos que o domínio de g é

    x   < - 3   e   x > 3

    Que é o mesmo que

    ( - ∞ ,   - 3 ) ∪ ( 3 ,   + ∞ )

    Passo 2

  3. Essa parte parece muito grande e chata, mas fazendo com calma você vai ver que não é nenhum bicho de sete cabeças.

Vamos começar com as assíntotas verticais. Temos que encontrar os pontos candidatos a serem essas assíntotas, ou seja, os pontos que em que a função apresenta alguma complicação. A parte boa é que nós já encontramos esses pontos! Quando determinamos o domínio de g vimos que x ≠ ± 3 e são justamente esses os pontos candidatos a assíntotas verticais. Vamos testar:

lim x  →   3 + ⁡ x 2 + 9 x 2 - 9 = lim x  →   3 + ⁡ 9 + 9 0 +   =   lim x  →   3 + ⁡ ∞ =   ∞  

Como o limite deu infinito,   x = 3   é uma assíntota vertical.

lim x  →   - 3 - ⁡ x 2 + 9 x 2 - 9 = lim x  →   - 3 - ⁡ 9 + 9 0 + =   lim x  →   - 3 - ⁡ ∞ = ∞  

x = - 3 também é assíntota vertical

Passo 2

Ufa! Metade da questão já foi.

Vamos às assíntotas horizontais agora:

lim x  →   + ∞ ⁡ x 2 + 9 x 2 - 9 =   lim x  →   + ∞ ⁡ 1 + 9 x 2 1 - 9 x 2 =   lim x  →   + ∞ ⁡ 1 + 0 1 - 0 = lim x  →   + ∞ ⁡ 1 1 = 1  

E

lim x  →   - ∞ ⁡ x 2 + 9 x 2 - 9 =   lim x  →   - ∞ ⁡ 1 + 9 x 2 1 - 9 x 2 =   lim x  →   - ∞ ⁡ 1 + 0 1 - 0 = lim x  →   - ∞ ⁡ 1 1 = 1  

Assim, g tem uma única assíntota horizontal que é y   =   1

Resposta

  1. D =   ( - ∞ ,   - 3 ) ∪ ( 3 ,   + ∞ )
  2. Assíntotas verticais: x = 3 e x =   - 3

Assíntota horizontal: y = 1

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