Exercícios Resolvidos de Assíntota Horizontal e Vertical

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Enunciado

1) Seja f : I R → I R a função definida pela expressão:

f x = 2 x 2 + α x 2 + 2 ;                       s e   x ≤ 0 arctan ⁡ x α x ,           s e   x > 0

Onde α é um número positivo.

  1. Determine as assíntotas horizontais do gráfico de f x , caso elas existam
  2. Determine os valores de α que tornam f contínua no ponto x = 0

Passo 1

Bora lá começar então! A questão quer primeiro da gente as assíntotas horizontais. Pois bem, pra achar as assíntotas os limites:

lim x → - ∞ ⁡ f x

lim x → + ∞ ⁡ f x

Tem que ser iguais a um número! Então vamos ver se f x tende a algum número. Começando com x → - ∞ , a lei de formação que vai estar valendo será:

f x = 2 x 2 + α x 2 + 2

E logo:

lim x → - ∞ ⁡ 2 x 2 + α x 2 + 2 = lim x → - ∞ ⁡ x 2 2 + α x 2 x 2 1 + 2 x 2 = lim x → - ∞ ⁡ 2 + α x 2 1 + 2 x 2 = 2 + 0 1 + 0 = 2

E pra x → + ∞ , usamos a outra lei de formação, beleza?

lim x → + ∞ ⁡ arctan ⁡ x α x = lim x → + ∞ ⁡ arctan ⁡ x lim x → + ∞ ⁡ α x

Veja bem, o limite de arco tangente quando x tende ao infinito é o arco cuja tangente tem tamanho infinito. Oras, e que arco é se esse se não 90   º   (ou em radianos, π 2 )! Vamos ter então:

lim x → + ∞ ⁡ arctan ⁡ x lim x → + ∞ ⁡ α x = π 2 + ∞ = 0

E é isso aí, os dois limites deram um número. Essa função tem então duas assíntotas horizontais:

A s s í n t o t a s   H o r i z o n t a i s → y = 2 y = 0

Passo 2

Ok, a função tem assíntotas. Mas será que essa função é contínua? Pra gente checar e partir pro abraço vamos ter que provar a continuidade dessa função. E bem, pra toda função contínua, vamos ter:

lim x → a - ⁡ f x = lim x → a + ⁡ f x = f a

a   ∈ I R

Beleza então, vamos aplicar essa fórmula. Pra isso, precisamos escolher o a . Como nossa f x é uma função definida por duas leis de formação, vamos analisar a continuidade de cada lei:

2 x 2 + α x 2 + 2 ;                       s e   x ≤ 0

Essa lei de formação é sim contínua em todo x < 0 . Sendo assim, escolher a < 0 não vai nos ajudar. Agora:

arctan ⁡ x α x ,           s e   x > 0

E não é que essa lei de formação também é contínua no intervalo que ela tá valendo? Bem, então a > 0 não rola também. Sobra só a = 0 . Sendo assim, a igualdade fica:

lim x → 0 - ⁡ f x = lim x → 0 + ⁡ f x = f 0

lim x → 0 ⁡ 2 x 2 + α x 2 + 2 = lim x → 0 ⁡ arctan ⁡ x α x = f 0

Vamos calcular cada um dos três termos então

Passo 3

Veja bem, se a função é:

f x = 2 x 2 + α x 2 + 2 ;                       s e   x ≤ 0 arctan ⁡ x α x ,           s e   x > 0

Então quando x = 0 ,

f x = 2 x 2 + α x 2 + 2

Fazendo f 0 :

f 0 = 2 . 0 2 + α 0 2 + 2 = α 2

E fazendo o limite:

lim x → 0 ⁡ 2 x 2 + α x 2 + 2

Como a primeira coisa que a gente faz em um limite é substituir pra ver no que dá, vamos ter:

lim x → 0 ⁡ 2 x 2 + α x 2 + 2 = 2 . 0 2 + α 0 2 + 2 = α 2

Opa, de fato vamos ter:

lim x → 0 - ⁡ f x = f 0

lim x → 0 ⁡ 2 x 2 + α x 2 + 2 = f 0

Vai faltar só checar um limite!

Passo 4

Vamos agora fazer:

lim x → 0 + ⁡ f x = lim x → 0 ⁡ arctan ⁡ x α x

Primeira coisa pra fazer, sem falta, é substituir e ver o que acontece. Partiu então:

lim x → 0 ⁡ arctan ⁡ x α x = arctan ⁡ 0 0 = 0 0

Opa peraí! Não rola 0 0 com oresposta porque isso é uma indeterminação! Pra gente sumir com ela então, vamos usar L’Hospital, beleza? Então derivando em cima e em baixo:

lim x → 0 ⁡ arctan ⁡ x α x = lim x → 0 ⁡ arctan ⁡ x ' α x ' = lim x → 0 ⁡ 1 1 + x x ' 1 2 α x α x ' = lim x → 0 ⁡ 1 1 + x ∙ 1 2 x α 2 α x

Ajeitando esse limite:

lim x → 0 ⁡ 1 1 + x ∙ 1 2 x α 2 α x = lim x → 0 ⁡ 2 α x 2 α 1 + x x = lim x → 0 ⁡ α x x α 1 + x = α α ∙ lim x → 0 ⁡ 1 1 + x

E aplicando o limite:

α α ∙ lim x → 0 ⁡ 1 1 + x = α α ∙ 1 1 + 0 = α α

Passo 5

Pra fechar e partir pro abraço, vamos juntar tudo o que vimos. Seja:

lim x → 0 - ⁡ f x = lim x → 0 + ⁡ f x = f 0

lim x → 0 ⁡ 2 x 2 + α x 2 + 2 = lim x → 0 ⁡ arctan ⁡ x α x = f 0

Chegamos a igualdade:

α 2 = α α = α 2

E com essas igualdades achamos as condições que fazem f x ser contínua viu! Só continuar manipulando a igualdade. Vamos ter:

α α = α 2

2 α = α 2

Elevando os dois lados ao quadrado:

4 α = α 4

4 α - α 4 = 0

α 4 - α 3 = 0

As soluções possíveis vão ser então:

α = 0

4 - α 3 = 0

O que é o mesmo que:

α = 0

α = 4 3

Agora que achamos os valores possíveis de α , vamos ver se não tem nenhuma pegadinha. Bora olhar de novo pro f x :

f x = 2 x 2 + α x 2 + 2 ;                       s e   x ≤ 0 arctan ⁡ x α x ,           s e   x > 0

Eita, α = 0 da problema em! Se usarmos essa resposta geramos um denominador nulo na segunda lei de formação. Sendo assim, o único valor de α que faz f x ser contínuo é:

α = 4 3

Resposta

  1. A s s í n t o t a s   H o r i z o n t a i s → y = 2 y = 0
  2. α = 4 3

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