Exercícios Resolvidos de Atrito Cinético

Força e Leis de Newton, Força de Atrito,

Considere o sistema de corpos 1 e 2, presos a fios ideais que passam por polias ideais, dado pela figura. Admita como dadas as seguintes grandezas: massas dos dois corpos, coeficientes de atrito cinético ( μ C ) e estático ( μ E ) entre o corpo 2 e plano inclinado, ângulo de inclinação ( θ ) do plano inclinado em relação à horizontal, aceleração da gravidade local ( g ) e o fato do sistema estar inicialmente em repouso.

Obs.: todas as soluções devem partir explicitamente de leis físicas adequadas e possuir desenvolvimento literal.

a) O corpo 1 tem massa M e o corpo 2 tem massa m 2 . O sistema está em equilíbrio estático, na iminência do corpo 2 descer. Faça um diagrama de corpo livre para o corpo 2 nesta situação.

b) Aplique a 2ª Lei de Newton e escreva as equações que relacionam as forças com a aceleração para os dois corpos.

c) Determine a razão entre M e m 2 para esta situação.

d) Considere agora que o corpo 1 tenha sua massa alterada para m 1 , de forma que o corpo 2 sobe o plano inclinado. Faça um diagrama de corpo livre para o corpo 2 nesta situação.

e) Encontre uma expressão literal para o valor da aceleração dos dois corpos.

Passo 1

a)

As forças atuando no corpo 2 são:

  • o peso p → 2
  • a normal N → 2
  • a tração do fio T → 2
  • o atrito estático máximo F → e m a x
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então o diagrama de corpo livre do corpo 2 é:

Passo 3

Repare que tanto a normal quanto a tração e a força de atrito são ou paralelas ou perpendiculares ao plano inclinado; só a força peso que não é.

Então uma jogada boa pra gente fazer é definir os eixos coordenados como sendo inclinados, assim ó:

Passo 4

Agora a gente pode usar uma trigonometria básica e decompor a força peso:

Passo 5

Então o DCL do corpo 2 vai ficar:

com p → 2 = m 2 g → .

Passo 6

b)

Vamos começar pelo corpo 2, já que a gente fez o diagrama de corpo livre dele.

Pela 2ª lei de Newton, a força resultante atuando nele é:

F → r = m a →

O corpo está em repouso, então sua aceleração é nula, e consequentemente a força resultante atuando nele também:

a → = 0   ⇒   F → r = 0

E isso vale também separadamente nos eixos x e y :

F → r x = 0

F → r y = 0

Passo 7

No eixo y , as forças atuando são a N → 2 , pra cima, e a p → 2 cos ⁡ θ , pra baixo:

N → 2 + p → 2 cos ⁡ θ = 0

⇒ N 2 - p 2 cos ⁡ θ = 0

⇒ N 2 = m 2 g cos ⁡ θ

Passo 8

No eixo x , temos a T → 2 e a F → e m a x , apontando pra esquerda, e a p → 2 sen ⁡ θ , apontando pra direita. Logo,

T → 2 + F → e m a x + p → 2 sen ⁡ θ = 0

⇒ - T 2 - F e m a x + p 2 sen ⁡ θ = 0

⇒ p 2 sen ⁡ θ = T 2 + F e m a x

⇒ m 2 g sen ⁡ θ = T 2 + F e m a x  

E F e m a x , o módulo da força máxima de atrito estático, é dado por:

F e m a x = μ E N 2 = μ E m 2 g cos ⁡ θ

Portanto, a equação fica:

m 2 g sen ⁡ θ = T 2 + μ E m 2 g cos ⁡ θ

Passo 9

Agora vamos pro corpo 1!

O DCL dele é:

Passo 10

O corpo 1 também está em repouso, então da mesma forma, pela 2ª lei de Newton:

F → r = T → 1 + p → 1 = 0

⇒ T 1 - p 1 = 0

⇒ T 1 = M g

Passo 11

Tem uma coisa importante que a gente não pode deixar escapar: as roldanas e os fios são ideais, então a tração é a mesma nos 2 blocos!

T 1 = T 2 = T

Levando isso em conta, vamos recapitular as equações que achamos até aqui:

m 2 g sen ⁡ θ = T + μ E m 2 g cos ⁡ θ N 2 = m 2 g cos ⁡ θ T = M g

Passo 12

c)

Vamos usar esse sisteminha que a gente acabou de achar!

Substituindo a 3ª equação na 1ª, temos:

m 2 g sen ⁡ θ = M g + μ E m 2 g cos ⁡ θ

Dividindo por g dos 2 lados:

m 2 sen ⁡ θ = M + μ E m 2 cos ⁡ θ

⇒ M = m 2 sen ⁡ θ - μ E m 2 cos ⁡ θ = m 2 sen ⁡ θ - μ E cos ⁡ θ

⇒ M m 2 = sen ⁡ θ - μ E cos ⁡ θ

Passo 13

d)

Antes o corpo 2 estava na iminência de uma descida à direita, então a força de atrito apontava pra esquerda, no sentido contrário à tendência de movimento.

A diferença agora é que o movimento iminente é de subida, pra esquerda. Então a força de atrito estático vai mudar de sentido, e o diagrama de corpo livre é:

Passo 14

e)

Agora os blocos estão em movimento, e adquirem portanto uma aceleração. Os fios e roldanas são ideais, então não só as trações são iguais, como já vimos, mas as acelerações dos 2 corpos também são iguais, em módulo:

a → 1 = a → 2 = a

E isso vai ser bem importante!

Passo 15

A força resultante no corpo 1, que está descendo, é:

F → r = p → 1 + T 1 → = m 1 g → + T 1 →

⇒ F r = m 1 g - T

Aplicando a 2ª lei de Newton:

F → r = m 1 a → 1

⇒ F r = m 1 a 1 = m 1 a

Logo,

m 1 g - T = m 1 a

Passo 16

O corpo 2 só se movimenta no eixo x , paralelo ao plano, então no eixo y a resultante de forças que atuam nele dá zero:

F → r y = 0

E essas forças são as mesmas de antes: N → 2 e p → 2 cos ⁡ θ . Ou seja, novamente temos:

N → 2 + p → 2 cos ⁡ θ = 0

⇒ N 2 - p 2 cos ⁡ θ = 0

⇒ N 2 = m 2 g cos ⁡ θ

Passo 17

Já no eixo x a resultante de forças não é nula, o corpo 2 está subindo, pra esquerda.

Mas atenção, agora que o corpo está em movimento o atrito passa a ser cinético! Então no lugar da F → e m a x entra a F → c , força de atrito cinético.

Ou seja, as forças que atuam no eixo x são T → 2 (pra esquerda), e p → 2 sen ⁡ θ e F → c (pra direita):

F → r = T → 2 + p → 2 sen ⁡ θ + F → c

E pela 2ª lei de Newton:

F → r = m 1 a → 1

Logo,

T → 2 + p → 2 sen ⁡ θ + F → c = m 1 a → 1

⇒ T → 2 + m 2 g → sen ⁡ θ + F → c = m 1 a → 1

Passo 18

E o módulo F c da força de atrito cinética é dado por:

F c = μ C N 2

E já vimos que N 2 = m 2 g cos ⁡ θ , logo:

F c = μ C m 2 g cos ⁡ θ

Então, obtemos:

T - m 2 g sen ⁡ θ - μ C m 2 g cos ⁡ θ = m 2 a 2 = m 2 a  

Passo 19

Com isso tudo que achamos, podemos montar um sistema:

m 1 g - T = m 1 a 1 T - m 2 g sen ⁡ θ - μ C m 2 g cos ⁡ θ = m 2 a 2  

Somando as 2 equações, obtemos:

m 1 g - T + T - m 2 g sen ⁡ θ - μ C m 2 g cos ⁡ θ = m 1 a + m 2 a

⇒ m 1 g - m 2 g sen ⁡ θ - μ C m 2 g cos ⁡ θ = m 1 + m 2 a

⇒ g m 1 - m 2 sen ⁡ θ - μ C m 2 cos ⁡ θ = m 1 + m 2 a

⇒ a = g m 1 - m 2 sen ⁡ θ - μ C m 2 cos ⁡ θ m 1 + m 2

Resposta

a)

b)

m 2 g sen ⁡ θ = T + μ E m 2 g cos ⁡ θ N 2 = m 2 g cos ⁡ θ T = M g

c)

M m 2 = sen ⁡ θ - μ E cos ⁡ θ

d)

e)

a = g m 1 - m 2 sen ⁡ θ - μ C m 2 cos ⁡ θ m 1 + m 2

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