Considere o sistema da figura abaixo. O bloco de forma triangular possui massa M e o que está sobre ele, m . A rampa do bloco de baixo faz um ângulo θ com a horizontal. O coeficiente de atrito entre o bloco M e a superfície é μ 1 . Existe atrito entre os dois blocos, de coeficiente μ 2 (estático igual ao cinético), mas este é pequeno e insuficiente para manter o bloco de massa m parado sobre o de baixo, se o de baixo estiver parado. Uma força F é aplicada sobre o bloco de baixo, como na figura, para acelerá-lo de tal forma que o bloco de cima não desliza sobre o de baixo, enquanto o conjunto se movimenta sobre o piso. Uma força F é feita de forma que o conjunto se movimente sobre o piso, mas o bloco de cima continue sem se movimentar sobre o de baixo, com a força de atrito estático entre os blocos estando em seu limite máximo (o bloco de cima está na iminência de começar a SUBIR sobre o de baixo). Dê suas respostas em termos de g , M , m , μ 1 , μ 2 e θ .

4) determine o valor máximo da força F

Passo 1

F como na figura. O bloco menor está apoiado no bloco maior e entre eles há atrito cujo coeficiente de atrito estático é μ 2 . Há também o atrito da mesa com o bloco de massa M , caracterizado pelo coeficiente de atrito cinético μ 1 , e tudo isso em cima de um plano inclinado

E agora o problema pediu o valor máximo da força F ! Nos itens anteriores foi pedido para desenhar o diagrama de forças, calcular a aceleração e a força normal entre os blocos, e eu acho que esses resultados são muito bem-vindos aqui, saca só:

O diagrama de forças vai nos ajudar a entender quais forças agem para o movimento acontecer em cada um dos blocos:

Como queremos saber o valor de F , vamos olhar com carinho para o bloco maior. O vetor força é aquele em preto!

Também temos o valor da força normal que age entre os blocos (aquele vetor amarelo do diagrama), e seu valor é:

N = m g c o s θ - μ 2 s e n θ

E por fim, mas não menos importante, temos o valor máximo da aceleração! (máximo porque se for maior que esse valor o bloco menor vai SUBIR sobre o plano, e não queremos que isso ocorra)

a = g s e n θ + μ 2 c o s θ c o s θ - μ 2 s e n θ

São esses os resultados dos itens anteriores! Agora o problema pede o valor de F , bom a força externa está aplicada no bloco maior, então a ideia aqui é isolar ele e aplicar a segunda lei (e aqui entra os resultados anteriores, ajudando a gente!)

A força F é na horizontal, assim como a aceleração. Então temos uma situação de equilíbrio na vertical (guardem isso!)

Então é isso:

  • isolar o bloco M no diagrama
  • aplicar a segunda lei na horizontal (com a aceleração que temos)
  • aplicar a primeira lei (equilíbrio) na vertical
  • com essas duas equações achar a força F !

Vamos começar?

Passo 2

Agora vamos isolar o bloco M , traçar eixos cartesianos ao longo da força peso (que é vertical) e da força F (que é horizontal) para poder equacionar as forças e aplicar as leis de Newton:

Na vertical temos uma situação de equilíbrio, então as componentes verticais se anulam, daí temos a primeira equação:

N 1 + F a t 2 E s e n θ - M g - N c o s θ = 0

A força de atrito entre os blocos F a t 2 E está relacionada com a normal entre eles N e o coeficiente de atrito estático μ 2 , e como temos uma expressão para N , dessa equação tiramos o valor de N 1

Nosso objetivo é encontrar F , mas ela por sua vez está relacionada com a força de atrito cinético entre o bloco M e a mesa, e que usa a normal N 1 (reação do contato do chão com o bloco M ), por isso é importante determinar N 1

Para a direção horizontal a força resultante será igual a M a , pois esse bloco está se movimentando:

F - F a t 2 E c o s θ - N s e n θ - F a t 1 C = M a

Com o valor da normal N 1 que vamos encontrar, podemos achar a força de atrito F a t 1 C e achar a força F por fim!

Beleza? Mas calma, vamos aos poucos!

Passo 3

Da equação da direção vertical:

N 1 + F a t 2 E s e n θ - M g - N c o s θ = 0

Isolando N 1 e substituindo F a t 2 E = μ 2 N :

N 1 = M g + N c o s θ - N μ 2 s e n θ = M g + N ( c o s θ - μ 2 s e n θ )

E por fim resgatando o resultado de N = m g c o s θ - μ 2 s e n θ do passo 1:

N 1 = M g + m g c o s θ - μ 2 s e n θ . c o s θ - μ 2 s e n θ = M g + m g

N 1 = ( M + m ) g

#chocada

Beleza?

Passo 4

Agora vamos usar esse resultado na equação que achamos da direção horizontal:

F - F a t 2 E c o s θ - N s e n θ - F a t 1 C = M a

Trocando F a t 2 E = N μ 2 e F a t 1 C = μ 1 N 1 e isolando F temos:

F = M a + N μ 2 c o s θ + N s e n θ + N 1 μ 1

F = M a + N μ 2 c o s θ + s e n θ + N 1 μ 1

E agora usando os resultados de a = g s e n θ + μ 2 c o s θ c o s θ - μ 2 s e n θ , N 1 = ( M + m ) g e N = m g c o s θ - μ 2 s e n θ obtemos o seguinte:

F = M . g s e n θ + μ 2 c o s θ c o s θ - μ 2 s e n θ + m g c o s θ - μ 2 s e n θ . μ 2 c o s θ + s e n θ + M + m g μ 1

Podemos agrupar os dois primeiros termos do lado direito:

F = M + m g . s e n θ + μ 2 c o s θ c o s θ - μ 2 s e n θ + M + m g μ 1

E por fim podemos ainda agrupar ( M + m ) g :

F = M + m g s e n θ + μ 2 c o s θ c o s θ - μ 2 s e n θ + μ 1

E é isso! Esse é o valor máximo da força!

Espero ter ajudado!

Resposta

F = M + m g s e n θ + μ 2 c o s θ c o s θ - μ 2 s e n θ + μ 1

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