Exercícios Resolvidos de Atrito Cinético

Energia Potencial e Conservação da Energia Mecânica, Trabalho e Energia Cinética

É permitido o uso de calculador científica simples.

Na figura abaixo, a polia de raio r = 0,1   m e massa desprezível, gira no sentido horário enrolando um cordão ligado a um bloco. O bloco, por sua vez, está ligado a uma mola ideal que tem sua outra extremidade fixa. A polia gira até que a mola sofra uma deformação de 0,05   m , quando então o sistema entra em repouso. A seguir, a polia é liberada. O atrito no eixo da polia é desprezível, mas há atrito entre o bloco e a superfície de apoio. Despreze a massa do cordão e admita que ele não deslize. Use: massa do bloco m B = 4,30   k g ; coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a superfície μ C = 0,30 ; constante elástica da mola k = 2300   N / m .

a) Determine a energia mecânica total do sistema quando ele estiver em repouso imediatamente antes da polia ser liberada.

b) Determine a velocidade escalar do bloco quando ele passar pela posição em que a mola está relaxada.

c) Suponha que o bloco andou 0,05   m depois de passar pela posição de relaxamento da mola até entrar em repouso momentaneamente. Determine o deslocamento angular da polia desde que ela foi liberada até este instante.

Passo 1

a)

A energia mecânica E m do sistema é dada por:

E m = K + U g + U e l ,

K sendo a energia cinética, U g a energia potencial gravitacional e U e l a energia potencial elástica.

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Passo 2

O sistema está em repouso, então a sua energia cinética é nula!

K = 0

Passo 3

Vamos considerar a superfície de apoio como o nosso “chão”, ou seja a altura de referência onde a energia potencial gravitacional é nula. A polia, o bloco e a mola estão na altura dessa chão, então a energia potencial gravitacional do nosso sistema é nula!

U g = 0

Passo 4

Só sobrou a energia potencial elástica! E ela é dada por:

U e l = k Δ x 2 2 ,

Δ x sendo a deformação gerada na mola, que foi de 0,05   m . O enunciado também deu k = 2300   N / m .

Ou seja,

U e l = 2300 ⋅ 0,05 2 2 = 2,8 75   J

Passo 5

Recapitulando,

E m = K + U g + U e l

⇒ E m = 0 + 0 + 2,8 75 = 2,8 75 ≈ 2,88   J

Passo 6

b)

Depois do instante em que ele está em repouso, o bloco volta pra direita até chegar com uma velocidade v B na posição em que a mola está relaxada. E a gente quer achar essa v B !

Pela conservação de energia mecânica, sabemos que quando todas as forças atuando num sistema são conservativas, temos

Δ E m = 0

E quando há forças não-conservativas, a diferença de energia mecânica é igual ao trabalho realizado por essas forças:

Δ E m = W n ã o - c o n s e r v a t i v a s

Lembrando que as forças não-conservativas são aquelas que fazem o sistema perder energia.

Passo 7

Então vamos dar uma olhada nas forças que atuam no bloco no trajeto dele!

Vejamos, tem as forças:

  • peso
  • normal
  • de tração
  • de atrito cinético

A força peso e a força normal a gente sabe que são conservativas. A tração nem sempre é, mas aqui os cordões não deslizam, então supomos que eles são ideais e que, portanto, as forças de tração agindo no bloco não fazem o sistema perder energia.

Só resta a força de atrito F → a t , que, justamente, não é conservativa (ou é não-conservativa rs).

Então

W n ã o - c o n s e r v a t i v a s = W F → a t  

⇒ Δ E m = W F → a t

Passo 8

Então vamos calcular o trabalho da força de atrito!

A força de atrito é contrária ao sentido do deslocamento, então o trabalho é negativo:

W F → a t = - F a t ⋅ d i s t â n c i a

O bloco vai da posição em que a mola está deformada de 0,05   m até onde ela está em relaxada, então a distância é 0,05   m . E o módulo da força de atrito é dado por:

F a t = μ C N

Mas como o bloco não tem nenhum movimento vertical, a normal tem o mesmo módulo que a força peso:

N = m B g

E o enunciado deu μ C = 0,30 , logo:

F a t = 0,30 m B g

Passo 9

Então o trabalho é:

W F → a t = - 0,30 m B g ⋅ 0,05 = - 0,015 m B g   J

Ou seja,

Δ E m = - 0,015 m B g   J

Passo 10

Agora vamos ver o que significa isso:

Δ E m = Δ K + Δ U g + Δ U e l

⇒ Δ K + Δ U g + Δ U e l = - 0,015 m B g   J

Sendo i o momento inicial, quando o sistema está em repouso, e f o momento final, quando o bloco passa pela posição onde a mola está relaxada, isso dá:

K f - K i + U g f - U g i + U e l f - U e l i = - 0,015 m B g

Passo 11

Já vimos que no momento inicial a energia cinética e a energia potencial gravitacional são nulas:

K i = U g i = 0

E na verdade, o bloco se mantém na mesma altura, deslizando em cima da superfície de apoio, então a energia potencial gravitacional final também é nula:

U g f = 0

Outra coisa: no momento final a mola está relaxada, a sua deformação é nula ( Δ x = 0 ), então a energia potencial elástica final também vale zero:

U e l f = 0

Também vimos que a energia potencial elástica da mola quando o sistema está em repouso é:

U e l i = 2,875   J

Opa, isso já adiantou bastante a gente! :)

Passo 12

A equação vai ficar:

K f - 0 + 0 - 0 + 0 - 2,875 = - 0,015 m B g

Lembrando que a gente chamou a velocidade final do bloco de v B , isso dá:

1 2 m B v B 2 - 2,875 = - 0,015 m B g

Passo 13

Vamos isolar o v B , depois a gente substitui os valores de m B e g , beleza?

Então temos:

1 2 m B v B 2 = 2,875 - 0,015 m B g

⇒ v B 2 = 2 m B 2,875 - 0,015 m B g = 5,75 m B - 0,03 g

⇒ v B = 5,75 m B - 0,03 g

Passo 14

Substituindo m B = 4,3   k g e g = 10   m / s 2 , obtemos:

v B = 5,75 4,3 - 0,3 ⋅ 10

⇒ v B ≈ 1,34 - 0,3 = 1,04 ≈ 1,02   m / s

Passo 15

c)A relação entre deslocamento angular θ da polia e deslocamento linear s do bloco é dada por:

Δ s = Δ θ r ,

r   sendo o raio da polia. Os dois são conectados, então tudo que a polia gira o bloco anda, de maneira proporcional ao raio.

Passo 16

O deslocamento linear é o quanto o bloco andou durante o movimento todo. Foram 0,05   m da posição inicial de repouso até a posição onde a mola estava relaxada, mais 0,05   m até parar de novo, logo:

Δ s = 0,05 + 0,05 = 0,1   m

Passo 17

E o raio da polia é r = 0,1   m , então:

Δ s = Δ θ r

⇒ 0,1 = Δ θ ⋅ 0,1

⇒ Δ θ = 1   r a d

Resposta

a)

E m = 2,875 ≈ 2,88   J

b)

v B ≈ 1,02   m / s

c)

Δ θ = 1   r a d

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