Exercícios Resolvidos de Atrito Cinético

Considere a situação ilustrada na figura abaixo. Um bloco de massa m está conectado através de fios e polias ideais a um segundo bloco de massa M . O bloco de massa M desliza com atrito sobre uma superfície inclinada de um ângulo θ com a horizontal enquanto o bloco de massa m desce verticalmente com velocidade constante. Responda as perguntas a seguir: (Lembre-se que sua resposta deve ser dada em função dos dados fornecidos no problema: M , m , θ , g )

a) Faça o diagrama das forças que atuam sobre cada um dos blocos.

b) Determine o módulo da força de atrito entre o bloco de massa M e o plano inclinado;

c) Encontre o coeficiente de atrito cinético entre o bloco de massa M e o plano inclinado.

Passo 1

Bom, temos o sistema da figura e na letra (a) já queremos o diagrama das forças sobre os blocos, sabendo que o bloco de massa m está descendo e o bloco de massa M está subindo a rampa.

Para o bloco de massa m é tranquilo, pois temos apenas a força peso P → 1 para baixo e a tração T → 1 na direção do cabo (para cima):

Já no segundo bloco, além da força peso P → 2 para baixo , tração T → 2 na direção do fio e a força normal N → perpendicular à superfície, temos também uma força de atrito para considerar.

A força de atrito F → a t atua contra a tendência de deslizamento, como esse bloco de massa M está subindo, temos a força de atrito para baixo da rampa.

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Passo 2

Na letra (b), queremos achar o valor (módulo) da força de atrito.

Para isso, vamos aplicar a Segunda Lei de Newton para os dois blocos e manipular as equações.

Para o bloco de massa m , temos que se o bloco desce com velocidade constante, então a força resultante sobre ele é nula:

F R = 0

P 1 - T 1 = 0

m g = T 1

Já para o bloco de massa M , vamos decompor a força peso e depois escrever a equação de forças para a direção paralela e perpendicular à rampa.

O ângulo θ aparece aqui:

Então, as componentes da força peso são:

Na direção perpendicular à rampa, temos um equilíbrio de forças:

F R y = 0

N - P 2 c o s θ = 0

N = M g c o s θ

Já na direção paralela à rampa, temos também um equilíbrio de forças, pois se o bloco m desce com velocidade constante, o bloco M é puxado com uma velocidade constante.

Considerando o sentido positivo para cima:

F R x = 0

T 2 - P 2 s e n θ - F a t = 0

F a t = T 2 - M g s e n θ

Passo 3

Beleza, ficamos com essas equações:

m g = T 1 N = M g c o s θ F a t = T 2 - M g s e n θ

Como o fio é ideal, a força de tração é a mesma por todo o cabo, então:

T 1 = T 2

Que vamos chamar simplesmente de T .

Então, nosso sistema ficou assim:

m g = T N = M g c o s θ F a t = T - M g s e n θ

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma expressão para a F a t em função dos dados ( M , m , θ , g ).

Como não temos o valor da tração T , vamos eliminar exatamente esse cara da expressão. Basta substituir o T da primeira equação na terceira equação.

Substituindo T na terceira equação:

F a t = m g - M g s e n θ

F a t = g m - M s e n θ

Passo 5

Na letra (c), queremos o coeficiente de atrito cinético.

A força de atrito F a t será cinética pois o bloco está deslizando, então podemos dizer que:

F a t = μ k N

Então, podemos substituir essa expressão na equação que achamos no item (b), Passo 4:

μ k N = g m - M s e n θ

μ k = g m - M s e n θ N

Porém N não é um dos nossos dados, então ele não pode aparecer na resposta.

Vamos utilizar a equação das forças na perpendicular à rampa sobre o bloco de massa M :

N = M g c o s θ

Substituindo isso, temos:

μ k = g m - M s e n θ M g c o s θ

Cortando g , achamos que o coeficiente de atrito cinético μ k é:

μ k = m - M s e n θ M c o s θ

Resposta

(a)

Bloco de massa m :

Bloco de massa M :

(b)

F a t = g m - M s e n θ

(c)

μ k = m - M s e n θ M c o s θ

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