Exercícios Resolvidos de Atrito Cinético

Um corpo de massa m desliza do topo de uma rampa cuja base tem comprimento l , conforme a figura abaixo. O coeficiente de atrito dinâmico entre o corpo e a superfície da rampa é μ d . Qual deverá ser a relação satisfeita pelo ângulo α ( <   π / 2 ) para que o tempo de deslizamento do corpo ao longo de toda rampa seja o maior possível?

Obs: Mínimos e máximos de uma função são caracterizados pelo fato de que a derivada da função se anula em tais pontos.

(a) s e n 2 ( α ) + c o s ( 2 α ) = 1 / μ d

(b) c o s ( 2 α ) = - 1 / μ d 2

(c) s e n ( α ) = μ d / 2

(d) t a n ( 2 α ) = - 1 / μ d

(e) t a n ( α ) = μ d

Passo 1

A questão é sobre uma partícula descendo um plano inclinado e sofrendo uma força de atrito cinética F → a .

O que acontece num plano inclinado é que a componente das forças (na direção da rampa e perpendicular a ela) atuando sobre a partícula dependem da inclinação da rampa α .

Então, conforme variamos essa inclinação, isso vai causar um efeito sobre o movimento dela.

Mas vem cá, nosso objetivo é o maior tempo possível para que ela desça a rampa, certo?

Certo!

Então é só a gente diminuir a inclinação da rampa até que essa partícula desça com as menores aceleração e velocidade possíveis, certo??

NÃOOOO!

Então... existe uma pegadinha nessa questão que é a seguinte:

O que é fixo da rampa é o comprimento da base l :

Ou seja, conforme aumentamos a inclinação α da rampa, a distância que a partícula percorre (comprimento da hipotenusa) aumenta também.

Assim, temos que realmente achar uma expressão para o tempo t que a partícula leva em função desses parâmetros e maximizar isso usando a dica da questão:

Obs: Mínimos e máximos de uma função são caracterizados pelo fato de que a derivada da função se anula em tais pontos.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar fazendo o diagrama de forças sobre a partícula:

Podemos ainda decompor a força peso P → nas suas componentes paralela e perpendicular à rampa:

Mas como chegamos no tempo t a partir dessas forças??

A partir das forças conseguimos a aceleração (Segunda Lei de Newton).

A partir da aceleração e o deslocamento, conseguimos o tempo t .

Passo 3

Vamos aplicar a Segunda Lei de Newton na direção da rampa:

F R = m a

P s e n α - F a = m a

A força peso P → é dada por m g , enquanto a força de atrito F → a , por ser cinética, é dada pelo coeficiente de atrito cinético μ d vezes a força normal N :

m g s e n α - μ d N = m a

Mas podemos encontrar essa força normal N fazendo o equilíbrio na outra direção:

P c o s α = N

N = m g c o s α

Substituindo isso na outra expressão, achamos uma expressão para a aceleração:

m g s e n α - μ d m g c o s α = m a

a = g s e n α - μ d g c o s α

Passo 4

Agora, precisamos escrever a distância percorrida pela partícula (hipotenusa) em função dos parâmetros:

Podemos relacionar isso com:

c o s α = l ∆ S

∆ S = l c o s α

Passo 5

Já temos a aceleração a e o deslocamento ∆ S . Vamos encontrar o tempo t .

Como a aceleração da bolinha é constante ao longo de todo o trajeto, realiza um movimento uniformemente variado:

S = S 0 + v 0 t + a t 2 2

Vamos considerar a origem no seu ponto de partida e o movimento ao longo da direç��o da rampa (eixo x ), além disso, vamos considerar sua velocidade inicial sendo nula, então:

∆ S = 0 + 0 + a t 2 2

t 2 = 2 ∆ S a

Substituindo:

t 2 = 2 g s e n α - μ d g c o s α   l c o s α

t = 2 l g s e n α - μ d g c o s α c o s α

Pronto, agora só precisamos maximizar t .

Passo 6

Para que t tenha um valor máximo:

t = 2 l g s e n α - μ d g c o s α c o s α

O que está dentro da raiz quadrada deve ter valor máximo, certo?

Certo!

2 l g s e n α - μ d g c o s α c o s α → m á x

E para que esta fração tenha valor máximo, o denominador deve ter valor mínimo, certo?

Certo!

g s e n α - μ d g c o s α c o s α → m í n

Então, vamos minimizar essa expressão, que chamaremos de A .

Passo 7

Para minimizar, vamos derivar A e depois igualar a zero.

Aplicando a regra do produto, temos:

A ' = g s e n α - μ d g c o s α ' c o s α + g s e n α - μ d g c o s α c o s α '

A ' = g c o s α - μ d g - s e n α c o s α + g s e n α - μ d g c o s α - s e n α

Multiplicando os parênteses:

A ' = g c o s 2 α + μ d g . s e n α . c o s α - g s e n 2 α + μ d g . s e n α . c o s α

Somando os termos em comum:

A ' = g c o s 2 α + 2 μ d g . s e n α . c o s α - g s e n 2 α

Colocando g em evidência:

A ' = g c o s 2 α + 2 μ d . s e n α . c o s α - s e n 2 α

Passo 8

Antes de igualar a zero, podemos usar duas identidades trigonométricas para melhorar a cara da nossa expressão.

A primeira vem a partir do “Minha terra tem palmeiras onde canta o sabia, s e n a c o s b + s e n b c o s ( a ) " .

Hahah, enfim, alguns aprenderam decorando essa musiquinha:

s e n a + b = s e n a c o s b + s e n b cos ⁡ a

Mas se os ângulos forem iguais a α , temos:

s e n α + α = s e n α c o s α + s e n α cos ⁡ α

s e n 2 α = 2 s e n α c o s α

Esse termo aparece lá no meio da nossa expressão...

A segunda relaç��o é do cosseno da soma de ângulos:

c o s a + b = cos ⁡ a cos ⁡ b - s e n a s e n ( b )

E se os ângulos forem iguai a α , temos:

cos ⁡ 2 α = cos 2 ⁡ α - s e n 2 α

Essa relação também aparece na nossa expressão.

Passo 9

Usando isso em A ' :

s e n 2 α = 2 s e n α c o s α cos ⁡ 2 α = cos 2 ⁡ α - s e n 2 α

A ' = g c o s 2 α + 2 μ d . s e n α . c o s α - s e n 2 α

A ' = g c o s 2 α - s e n 2 α + μ d 2 s e n α . c o s α

A ' = g cos ⁡ 2 α + μ d s e n 2 α

Passo 10

Agora, basta igualar isso a zero:

A ' = 0

g cos ⁡ 2 α + μ d s e n 2 α = 0

Se o produto de g com o termo em parêntesis deve dar zero, temos que:

cos ⁡ 2 α + μ d s e n 2 α = 0

Podemos dividir tudo por cos ⁡ 2 α , já malandramente olhando para aquele “ tan ⁡ 2 α ” das alternativas:

cos ⁡ 2 α cos ⁡ 2 α + μ d s e n 2 α cos ⁡ 2 α = 0

1 + μ d tan ⁡ 2 α = 0

tan ⁡ 2 α = - 1 μ d

E assim achamos finalmente a nossa resposta!

Resposta

Letra (d)

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