Exercícios Resolvidos de Funções de 2 variáveis, Curvas de Nível e Gráfico

Passo 1

Vamos começar pelas curvas de nível.

Sempre que falamos sobre curva de nível, o que temos que fazer é igualar nossa função a uma constante k qualquer.

Assim, as curvas de nível da nossa função são

8 - 2 x - y = k

y = - 2 x - k + 8

E isso são várias retas no plano x y .

Tá, mas por que várias?

Porque o nosso k pode assumir qualquer valor que quisermos. Assim, conforme formos mudando o valor de k vamos ter retas diferentes, mas sempre paralelas umas as outras, porque só estaremos deslocando a reta.

Temos isso aqui:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza, agora que já temos as curvas de nível, precisamos identificar o gráfico da nossa função. E para isso vamos usar elas mesmas, as curvas de nível que já encontramos.

Pensa comigo, que figura em 3D que quando a gente corta em planos paralelos f x , y = k resulta em retas? Um plano, né!?

Passo 3

Beleza, agora que cara vai ter esse plano?

Vamos dar uma olhadinha da expressão da nossa função.

f x , y = z = 8 - 2 x - y

Se tivermos x = y = 0 teremos que f x , y = 8 . Beleza, então já sabemos que nosso plano cruza o eixo z em 8.

Agora, se tivermos x = z = 0 teremos que y = 8 , ou seja, o plano cruza o eixo y em 8.

E, por fim, se tivermos y = z = 0 teremos que x = 4 e assim o plano cruza o eixo x em 4.

Nosso plano tem essa cara aqui então:

Resposta

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