Exercícios Resolvidos de Funções de 2 variáveis, Curvas de Nível e Gráfico

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Enunciado

Esboce o gráfico das funções a seguir:

i) f x , y = x 2 + y 2

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Para essa questão, foi solicitado que esbocemos um gráfico de f ( x , y ) , mas você acha que podemos fazer isso? 🤔

Esboçar um gráfico é traçar, de uma forma mais material, a imagem da função.

Uma função f x , y está contida em três dimensões, ou seja, dependendo de um determinado ponto em x e um determinado ponto em y , vamos ter uma imagem em z , com isso, podemos afirmar que na verdade f x , y = z .

Podemos comparar com uma lei muito famosa, a chamada 3° Lei de Newton ou lei da Ação e Reação. Essa lei da natureza diz que para cada ação, há uma consequência, por exemplo, se deixarmos o conteúdo se acumular, chegando no período de provas temos que dar um jeito de recuperar e para isso acabamos estudando até mais tarde e dormindo mal, o que nos deixa exaustos no outro dia, não é?

Então, nossas ações são nossas variáveis x e y , no caso, deixar o conteúdo se acumular. Quando isso acontece, temos uma reação, ou seja, nossa variável z ou f x , y , que no caso foi estudar até tarde e dormir mal.

Entendeu? Para cada valor de x e y , vamos ter um z (para cada ação, vamos ter uma reação)!

Passo 2

Na prática, funciona da seguinte maneira:

Temos a função que vamos esboçar o gráfico

f x , y = x 2 + y 2

O próximo passo é analisarmos o que esperamos de como será o gráfico.

Neste caso, como você acha que ele vai ser? Plano, ondulado, inclinado, curvo...?

Vemos que dentro da raiz da função, temos uma equação muito presente em nossas vidas, que é a equação da circunferência x 2 + y 2 = R a i o 2

Quando temos uma função com algo que já conhecemos, podemos usar o método das curvas de níveis.

Este método consiste em substituir f x , y por z e determinar valores para z , dessa forma, podemos traçar curvas em planos perpendiculares a z e uni-los para obter a função f x , y .

Este método lembra muito as projeções topográficas em geografia.

Determinando alguns valores para z , temos

Ou seja, em cada plano z determinado, temos uma curva que é o corte do plano com o gráfico.

Observe que não usamos valores negativos para z , pois a raiz de f x , y é positiva. Se fosse - x 2 + y 2 usaríamos apenas valores negativos.

Passo 3

Em z = 0 , temos x 2 + y 2 = 0 , isso representa apenas um ponto.

Nos demais valores de z , estão representados circunferências, onde plotando essas circunferências no espaço 3D, temos

Por fim, ligando as curvar, vamos obter um plano que representa o gráfico de f x , y

Quanto mais curvas forem plotadas, mais fácil é definir o gráfico.

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

Gráfico no último passo.

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