Exercícios Resolvidos de Funções de 2 variáveis, Curvas de Nível e Gráfico

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2000, p. 77 – 7 (modificado)

Na figura estão representadas curvas de nível da função f x , y . Escreva uma expressão adequada para f .

Passo 1

Geralmente temos uma função e pedem as curvas de nível, aqui vamos ter que fazer o contrário! De cara pode parecer difícil, mas já já você vai ver que não tem mistério.

Olhando a figura, vemos que as curvas de nível da função são parábolas, voltadas pro sentido positivo do eixo x .

Inclusive podemos ver que elas têm a mesma inclinação, o que muda é apenas o vértice delas, que vai se deslocando pelo eixo x .

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Passo 2

Repare que o vértice da curva de nível 0 é o ponto 0 ,   0 , o da curva de nível 1 é o ponto 1 ,   0 , o da curva de nível 2 o ponto 2 ,   0 e assim por diante...

Ou seja, a partir dessas observações concluímos que a curva de nível k dessa função é uma parábola voltada pro sentido positivo do eixo x e com vértice em k ,   0 .

Então essas curvas de nível são da forma

x = a y 2 + k

onde a seria uma constante qualquer.

Passo 3

Pra achar a curvas de nível k da função, temos que igualá-la a k :

f x , y = k

E ali em cima achamos

x = a y 2 + k

Então vamos aproveitar isso! Obtemos um sisteminha bobo:

f x , y = k x = a y 2 + k

Passo 4

Show, estamos quase lá!

Somando a y 2 dos 2 lados na 1ª equação:

f x , y + a y 2 = a y 2 + k

Agora substituindo a 2ª equação nessa:

f x , y + a y 2 = x

f x , y = x - a y 2

Pronto, aí está nossa função f ! :)

Viu que foi tranquilo?

Resposta

f x , y = x - a y 2 ,   a   c o n s t a n t e

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