Exercícios Resolvidos de Funções de 2 variáveis, Curvas de Nível e Gráfico

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Enunciado

8- Seja f x , y = 10 - x - y ² .

c) Faça um esboço do gráfico de f .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

O probleminha nos pediu pra esboçar o gráfico de f x , y , mas par ser sincero, dificilmente vamos conseguir imaginar como é o gráfico de uma função só de olharmos para ela, então temos que dispor de alguns artifícios pra nos ajudar nessa tarefa.

Existe um método de tabelamento dos valores de entrada para plotarmos pontos que fazem parte da superfície da função, mas este método não é muito bom para funções tridimensionais, como nesse caso, já que teríamos que plotar muuuitos pontos para começarmos a imaginar o gráfico.

Para funções tridimensionais, uma boa forma de construir um gráfico é calcular algumas curvas de níveis e intercessões com planos. Estas intercessões e curvas de níveis vão resultar em funções bidimensionais, com essas funções conseguimos esboça-las em x y z sendo contida no plano em que foi calculada.

Passo 2

Vamos calcular a intercessão entre f x , y e os planos z = 0 , z = 2 , z = 4 , x = - 4 , x = 0 e x = 5 .

Antes vamos fazer um ajuste na função e trocar f x , y por z

f x , y = 10 - x - y 2

z = 10 - x - y 2

Elevando os dois lados ao quadrado para eliminar a raiz, temos

z 2 = 10 - x - y 2

x + y 2 + z 2 = 10

Observe que a raiz inicial 10 - x - y 2 é positiva, então z só pode assumir valores positivos.

Para z = 0 , temos

x + y 2 + 0 2 = 10

x + y 2 = 10

Para z = 2 , temos

x + y 2 + 2 2 = 10

x + y 2 = 6

Para z = 5 , temos

x + y 2 + 4 2 = 10

x + y 2 = - 6

Para x = - 4 , temos

- 4 + y 2 + z 2 = 10

y 2 + z 2 = 14

Para x = 0 , temos

0 + y 2 + z 2 = 10

y 2 + z 2 = 10

Por fim, para x = 5 , temos

5 + y 2 + z 2 = 10

y 2 + z 2 = 5

Passo 3

Nos resta plotar estas curvas contidas em seus planos, por exemplo, vamos plotar x + y 2 = 10 no plano z = 0 , x + y 2 = 6 no plano z = 2 e assim por diante. Isso vai resultar em algo parecido como uma estrutura da superfície, veja só

Quanto mais curvas de níveis fizermos, mais fácil será para construirmos o gráfico da função.

Ligando as curvas, vamos ter o gráfico de f x , y

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

Gráfico descrito no passo-a-passo.

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