Exercícios Resolvidos de Funções de 2 variáveis, Curvas de Nível e Gráfico

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Enunciado

Uma camada fina de metal, localizada no plano x y , tem temperatura T x , y no ponto x , y . As curvas de nível de T são chamadas de isotérmicas porque todos os pontos em uma isotérmica têm a mesma temperatura. Faça o esboço de algumas isotérmicas se a função de temperatura for dada por

T x , y = 100 1 + x 2 + 2 y 2

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Temos aqui uma típica questão de aplicação de curvas de níveis.

O enunciado diz que temos uma camada fina de metal no plano x y . Foi dada uma função T x , y que representam as temperaturas do metal.

As curvas de níveis de T x , y são os pontos em que o metal tem a mesma temperatura.

O objetivo principal da questão é esboçar algumas curvas de níveis da função T x , y .

Ok, mas como eu calculo as curvas de níveis de uma função? 🤔

Imagine que você tem uma função f x , y e você corta essa função em uma altura k do plano x y . A curva de nível é a curva que se forma no plano de corte que fizemos, algo muito parecido com desenhos topográficos em geografia, lembra?

A primeira coisa a se fazer é, no caso, substituir T x , y por k . Com isso vamos transformar uma função tridimensional em bidimensional.

Com essas ideias, podemos iniciar os cálculos.

Passo 2

Primeiro de tudo, substituímos T x , y por k

T x , y = 100 1 + x 2 + 2 y 2

k = 100 1 + x 2 + 2 y 2

Vamos organizar essa equação um pouco mais.

x 2 + 2 y 2 + 1 = 100 k

x 2 + 2 y 2 = 100 k + 1

x 2 + 2 y 2 = 100 + k k

O próximo passo é substituir k por valores quaisquer, mas observe que k > 0 pois se for 0 , resultará em uma indeterminação e se for menor que 0 , o lado direito da igualdade será negativo.

Observando a equação que temos, vemos que se trata da equação de uma elipse, onde

Logo se o lado direito da equação não admite valores negativos

Passo 3

Vamos definir alguns níveis de k ( k = 2 ,   k = 5 ,   k = 10 e k = 20 ) .

Agora substituindo os valores de k na equação, temos

Para k = 2

x 2 + 2 y 2 = 100 + 2 2

x 2 + 2 y 2 = 51

x 2 51 + y 2 51 / 2 = 1

Encontramos uma elipse de a 2 = 51 e b 2 = 51 / 2 .

Para k = 5

x 2 + 2 y 2 = 100 + 5 5

x 2 + 2 y 2 = 21

x 2 21 + y 2 21 / 2 = 1

Encontramos uma elipse de a 2 = 21 e b 2 = 21 / 2 .

Para k = 10

x 2 + 2 y 2 = 100 + 10 10

x 2 + 2 y 2 = 11

x 2 11 + y 2 11 / 2 = 1

Encontramos uma elipse de a 2 = 11 e b 2 = 11 / 2

Por fim, para k = 20

x 2 + 2 y 2 = 100 + 2 0 2 0

x 2 + 2 y 2 = 6

x 2 6 + y 2 3 = 1

Encontramos uma elipse de a 2 = 6 e b 2 = 3

Passo 4

Só o que falta é plotar os gráficos das curvas que encontramos, que ficam da seguinte maneira.

e q 1 representa a curva de nível k = 2 , e q 2 representa a curva de nível k = 5 , e q 3 representa k = 10 e e q 4 representa k = 20 .

Cada uma das curvas representa pontos onde a temperatura é a mesma, ou seja, qualquer ponto na curva 1 tem a mesma temperatura, assim como na curva 2, 3 e 4.

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

Para k = 2 , x 2 51 + y 2 51 / 2 = 1

Para k = 5 , x 2 21 + y 2 21 / 2 = 1

Para k = 10 , x 2 11 + y 2 11 / 2 = 1

Para k = 20 , x 2 6 + y 2 3 = 1

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