Exercícios Resolvidos de Funções de 2 variáveis, Curvas de Nível e Gráfico

Considere a função f x , y = 1 + 1 + y 2 - 3 x 2 .

a) Encontre o domínio e a imagem de f x , y .

b) O gráfico de f x , y é uma superfície quádrica? Se a resposta for sim, identifique a superfície e esboce o gráfico de f .

c) Identifique as curvas de nível da função f e esboce um mapa de contorno. Explique a relação entre o mapa de contorno e o gráfico de f x , y .

Passo 1

a) Pensar em domínio de uma função é olhar para expressão dela e ver se tem denominador, raiz par ou log. Se tiver, a gente usa essas restrições aqui para criar inequações que descrevem nosso domínio:

d e n o m i n a d o r ≠ 0

a r g u m e n t o   d a   r a i z   p a r ≥ 0

a r g u m e n t o   d o   l o g > 0

E como a gente tem uma função de duas variáveis, nosso domínio deve ser uma região no plano x y , tá? Vamos lá!

Vemos que nossa função tem uma raiz par, esse argumento não pode ser negativo

1 + y 2 - 3 x 2 ≥ 0

1 ≥ 3 x 2 - y 2

Aí só temos essa restrição, então nosso domínio é dado só por essa equação mesmo. Aí escrevendo daquela forma fofa

D = x , y ∈ R 2 3 x 2 - y 2 ≤ 1

Essa é a região onde nossa função está definida.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A imagem é o intervalo de valores de f x , y que nossa função assume.

Para determinar isso, gente vai fazer algo parecido ao passo anterior. Vamos olhar nossa função para ver se tem essas características:

t e r m o   c o m   e x p o e n t e   p a r ≥ 0 ,     e x p o n e n c i a l > 0 ,     r a i z   p a r ≥ 0

A gente vê que a nossa função tem uma raiz par. Aí a gente pode escrever:

1 + y 2 - 3 x 2 ≥ 0

Aí vamos fazer aparecer a nossa função aí nessa inequação. A gente pode somar 1 dos dois lados

1 + 1 + y 2 - 3 x 2 ≥ 1

Prontinho, apareceu a expressão da nossa função ali na esquerda. Aí a gente diz que

f x , y ≥ 1

Aí nossa função assume os valores no intervalo

I = [ 1 , ∞ )

Passo 3

b) Para a gente testar se o gráfico é uma quádrica, precisamos igualar f x , y a z e dá aquela rearrumada

z = f x , y

f x , y = 1 + 1 + y 2 - 3 x 2

z = 1 + 1 + y 2 - 3 x 2

z - 1 2 = 1 + y 2 - 3 x 2

z - 1 2 - y 2 + 3 x 2 = 1

Ela parece um elipsoide, mas com um termo negativo, né? O que isso nos diz? Diz que ela é sim uma quádrica, o hiperboloide de uma folha (um porque só tem um termo negativo).

Passo 4

Vamos esboçar esse cara. Primeira coisa é lembrar da imagem

f x , y ≥ 1

z ≥ 1

Então nossa função só existe acima de z = 1 .

z - 1 2 - y 2 + 3 x 2 = 1

Essa superfície é aquela que tem cara de tronco de árvore. Como o termo em y é o negativo, o eixo do nosso tronco vai ser paralelo ao eixo y .

Comparando com a equação geral do hiperboloide de uma folha para esse caso

x - x 0 2 a 2 - y - y 0 2 b 2 + z - z 0 2 c 2 = 1

Essa superfície está centrada em 0,0 , 1 . Ah e aquele 3 do lado do x , mostra que a interseção entre a superfície e o plano y = 0 vai ser parte de uma elipse

z - 1 2 + 3 x 2 = 1

E a interseção com o plano x = 0 é uma hipérbole

z - 1 2 - y 2 = 1

Aí esboçando a parte desse tronco que só está em z ≥ 1 , nosso esboço é

Passo 5

c) Para achar as curvas de nível, a gente precisa igualar nossa função f x , y , a valores constantes que a gente chama de k .

f x , y = k

E analisar que curvas essas expressões formam.

Mas como f x , y ≥ 1 , temos também que

k ≥ 1

Aí nossa função é

f x , y = 1 + 1 + y 2 - 3 x 2

As curvas de nível ficam

k = 1 + 1 + y 2 - 3 x 2

k - 1 2 = 1 + y 2 - 3 x 2

k - 1 2 - 1 = y 2 - 3 x 2

Passo 6

Agora a gente analisa essa expressão para alguns intervalos de k . Uma dica é ver onde esse lado esquerdo (onde só temos as constantes) vai zerar, porque aí a gente consegue marcar uns intervalos interessantes

k - 1 2 - 1 = 0

k 2 - 2 k + 1 - 1 = 0

k 2 - 2 k = 0 ∴ k k - 2 = 0 ∴ k = 0 ,   k = 2

Como k ≥ 1 , só consideramos k = 2 , aí temos os intervalos

1 ≤ k < 2 ,     k = 2 ,     k > 2

Passo 7

Vamos olhar o que acontece em 1 ≤ k < 2

k - 1 2 - 1 = y 2 - 3 x 2

Nesse intervalo, o termo k - 1 2 - 1 fica negativo. Podemos fazer isso vendo k = 1 .

Para escrever a equação de uma curva bonitinha, o lado das constantes precisa ser positivo, então vamos multiplicar os dois lados da equação por - 1 :

- k - 1 2 + 1 = - y 2 + 3 x 2

E isso são as equações de hipérboles. Como y está negativo, nossa curva não toca o eixo y .

Agora para k = 2 :

k - 1 2 - 1 = y 2 - 3 x 2

2 - 1 2 - 1 = y 2 - 3 x 2 ∴ y 2 = 3 x 2 ∴ y = ± 3 x

E isso é um par de retas.

Por fim, para k > 2 .

k - 1 2 - 1 = y 2 - 3 x 2

Nesse caso, esse termo da esquerda já vai ser positivo, podemos testar isso fazendo k = 3 , por exemplo.

Então essa uma hipérbole que não toca o eixo x .

Passo 8

Aí agora é variar esse k e fazer várias curvas no plano x y . Tendo em vista que a gente precisa representar esses intervalos onde elas são diferentes

Aí a gente pode interpretar essas curvas como as projeções em x y das interseções entre a nossa função e os planos z = k . É como se a gente tivesse vendo como é o nosso gráfico, visto de cima, em alturas z = k .

Resposta

a)   D = x , y ∈ R 2 3 x 2 - y 2 ≤ 1

I = [ 1 , ∞ )

b) hiperboloide de uma folha

c) 1 ≤ k < 2 ,   - k - 1 2 + 1 = - y 2 + 3 x 2 , hipérboles

k = 2 ,   y = ± 3 x ,   par de retas

k > 2 ,   k - 1 2 - 1 = y 2 - 3 x 2 , hipérboles

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