Exercícios Resolvidos de Funções de 2 variáveis, Curvas de Nível e Gráfico

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Enunciado

Considere as funções:

c) f x ,   y = x y . Para quais valores de x e y temos f x ,   y = 1 ? Represente graficamente a resposta.

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Para essa questão, foi dada uma função f x , y e temos que encontrar os valores de x e y para que f x , y = 1 . Mas como vamos fazer isso? 🤔

Primeiro de tudo, vamos analisar uma coisa. Foi dada uma função tridimensional, já que f x , y representa as coordenadas do eixo z .

Quando determinamos f x , y = 1 , estamos determinando z = 1 , ou seja, estamos “cortando” a função f x , y na altura 1 do eixo z e o que vamos encontrar, graficamente, é a intercessão de z = 1 e da função f x , y , resultando em uma outra função bidimensional.

Com essas informações, podemos iniciar nosso probleminha. Bora lá!

Passo 2

Quando admitimos f x , y = 1 , podemos escrever a função assim

f x , y = 1 = x y

Isolando y de um lado da igualdade, temos

y = 1 x

Com essa informação, podemos determinar os possíveis valores de x   e y para que a função f x , y seja igual a 1 .

Encontramos que x e y pode ser qualquer número real desde que y = 1 x   .

Uma forma mais didática de escrever isso, é

x , y ∈ R y = 1 x

Passo 3

Podemos representar graficamente substituindo valores de x na equação y , o que vai nos resultar em pontos, a partir desses pontos, podemos traçar a curva que procuramos.

Vemos que em x = 0 , y é indefinido, portanto o gráfico será descontínuo no ponto.

Plotando os demais pontos no plano cartesiano, temos

Ligando os pontos que plotamos, podemos esboçar o gráfico que representa f x , y = 1 .

Quando não temos tanta clareza sobre o gráfico que estamos trabalhando, podemos estimar mais valores para x para plotar mais pontos no plano.

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

x , y ∈ R y = 1 x

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