Exercícios Resolvidos de Funções de 2 variáveis, Curvas de Nível e Gráfico

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Enunciado

7- Dada a função f x , y = 1 x 2 + y 2 , pede-se:

b) A equação e o esboço da curva de nível que contém o ponto 0,2 .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Para essa questão foi dada uma função f x , y e temos que encontrar a curva de nível que contém o ponto x , y . Parece difícil?

Curvas de níveis de uma função são obtidas a partir do corte na função a uma altura k do plano x y , formando uma curva correspondente à curva de nível na altura k .

Algo muito parecido com desenhos topográficos em Geografia.

O primeiro passo a se fazer é substituir f x , y por k

f x , y = 1 x 2 + y 2

k = 1 x 2 + y 2

Organizando um pouco mais essa equação, temos

x 2 + y 2 = 1 k

Encontramos uma equação de circunferência que representa as curvas de níveis de f x , y

Passo 2

Temos que encontrar a curva de nível que contém o ponto 0,2 , mas como vamos achar este nível?

Se k representa o nível que queremos, basta substituirmos x por 0 e y por 2 que vamos encontrar um valor pra k , este valor será o nível que contém este ponto. Veja só

0 2 + 2 2 = 1 k

4 = 1 k

k = 1 4

Com isso, encontramos que no nível 1 / 4 a curva de nível de f x , y passará pelo ponto 0,2

Substituindo o valor de k na equação de curva de nível, vamos ter a equação que representa o nível que procuramos

x 2 + y 2 = 1 k

x 2 + y 2 = 1 1 / 4

x 2 + y 2 = 4

Passo 3

Esboçando a curva que encontramos no plano cartesiano, temos uma circunferência, centrada na origem, de raio 2 .

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

x 2 + y 2 = 4

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