Exercícios Resolvidos de Funções de 2 variáveis, Curvas de Nível e Gráfico

James Stewart, Cálculo – Volume 2, 6ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010, p. 827 - 47

Faça o esboço do mapa de contorno e do gráfico da função e compare-os.

f x , y = x 2 + 9 y 2

Passo 1

Vamos começar determinando as curvas de nível, igualando a função a uma constante qualquer k :

f x , y = x 2 + 9 y 2 = k

Repare que isso é a equação de uma elipse! Podemos botá-la na forma tradicional

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

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Passo 2

Dividindo tudo por k :

x 2 k + 9 y 2 k = 1

x 2 k 2 + y 2 k 3 2 = 1

É a equação de uma elipse centrada na origem, e cujos semieixos valem k e k 3 .

Portanto, o mapa de contorno da função basicamente vai ser um monte de elipses de vários tamanhos, e que respeitem a condição que o semieixo horizontal é 3x maior que o vertical.

Passo 3

Por exemplo, com k = 1 , temos a elipse

x 2 + 9 y 2 = 1

Passo 4

A questão pediu apenas o mapa de contorno, ela não exigiu especificar a equação de cada curva de nível e tal. Então mano, é só mandar bala e desenhar várias elipses respeitando essas proporções!

O que vai dar no mapa de contorno:

Obs: se empolgar e desenhar as curvas de nível nas cores do arco-íris é facultativo.

Passo 5

Agora ele quer o gráfico da função. É nessa hora que a gente chama f x , y de z pra chegar na equação de uma superfície:

z = x 2 + 9 y 2

Aí agora ou você é o(a) mito das quádricas, bate o olho e já vê de cara que se trata de um paraboloide elíptico, ou você dá uma olhada no mapa de contorno da função e chega numa conclusão parecida.

Pra confirmar ainda podemos seguir o procedimento padrão e zerar as variáveis, vendo como são as interseções da superfície com os planos coordenados.

Passo 6

Fazendo x = 0 , temos, no plano y z :

z = 9 y 2 ,

que é uma parábola.

Passo 7

E fazendo y = 0 , temos, no plano x z :

z = x 2 ,

que, vejam só, também é uma parábola!

Passo 8

Resumindo, nossa superfície vai ser a junção de um monte de parábolas voltadas pra cima e com vértice em 0 ,   0 ,   0 . Sendo que se cortarmos ela horizontalmente, temos que observar as elipses do mapa de contorno.

Então lá vai o gráfico:

Passo 9

Calma que ainda não acabou! Ele ainda quer que a gente compare o mapa de contorno com o gráfico... o que é meio idiota já que nos baseamos no mapa de contorno pra fazer o gráfico!

Enfim, aqui eu diria algo do tipo “eles são coerentes um com o outro, as curvas de nível são elipses, o gráfico é um paraboloide elíptico, faz total sentido, blablabá”. Algo do tipo. Afinal, você é universitário(a), eu confio no seu poder de enrolation! ;)

Resposta

Mapa de contorno:

Gráfico:

Eles são coerentes entre si, a partir de um podemos visualizar o outro.

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