Exercícios Resolvidos de Funções de 2 variáveis, Curvas de Nível e Gráfico

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Enunciado

3- Desenhe as curvas de nível f - 1 k : = x , y ∈ R 2 f x , y = k das funções de duas variáveis f a seguir para os valores de k dados:

b) f x , y = y 2 - x ² ;   k = 0 ,   1 ,   2 ,   3 ;

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Para essa questão, temos que calcular as curvas de níveis para k = 0 ,   1 ,   2 ,   3 . Mas peraí, curvas de níveis? O que é isso? 🤔

Quando temos uma função f x , y e queremos descobrir suas curvas de níveis, estamos fazendo um corte paralelo ao plano x y a uma altura k .

Já viu um desenho topográfico em geografia? É praticamente a mesma ideia.

Para calcular uma curva de nível, temos uma função tridimensional e vamos converte-la para uma função bidimensional substituindo f x , y por k e posteriormente k pelo nível que desejamos conhecer.

Com essas ideias, podemos iniciar nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro de tudo, vamos substituir f x , y por k

f x , y = y 2 - x ²

k = y 2 - x ²

Isolando y , vamos obter uma função f x bidimensional.

y 2 = x 2 + k

Tirando a raiz dos dois lados para obter y , temos

y = x 2 + k

Agora só substituir k pelo nível que queremos e partir pra galera!

Para k = 0 , temos

y = x 2 + 0

y = x 2

y = x

Essa função é muito famosa, mas caso não consiga visualizar a curva que é formada, podemos usar o método da tabelinha.

Este método consiste em fazer uma tabela substituindo um valor em x e calcular o resultado em y , assim obtendo um ponto no espaço x , y . Por exemplo

Com isso, obtemos os pontos A = - 2,2 , B = 0,0 e C = 1,1 .

Vamos segurar esse ponto por enquanto.

Passo 3

Para k = 1 , temos

y = x 2 + 1

Utilizando o método da tabelinha para obter os pontos em y , temos

Para este nível k , obtemos os pontos D = - 2 , 5 , E = - 1 , 2 , F = 1 , 2 e G = 3 , 10 .

Para k = 2 , temos

y = x 2 + 2

Obtendo alguns pontos de y , temos

Para k = 2 , obtemos os pontos H = - 2 , 6 , I = 0 , 2 , J = 1 , 3 e K = 3 , 11

Passo 4

Para k = 3 , temos

y = x 2 + 3

Obtendo os pontos para formar a curva neste nível, temos

Obtemos L = - 2 , 7 , M = - 1,2 , N = 0 , 3 e P = 3 , 12

Plotando estes pontos no plano cartesiano, temos

Ligando os pontos de seus níveis, obtemos as curvas de níveis que procuramos

Caso alguma curva não esteja muito clara, podemos adicionar mais valores na tabelinha, assim obtendo mais pontos.

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

k = 0 , y = x

k = 1 , y = x 2 + 1

k = 2 , y = x 2 + 2

k = 3 , y = x 2 + 3

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