Exercícios Resolvidos de Funções de 2 variáveis, Curvas de Nível e Gráfico

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Enunciado

(Cap. 14.1 - Ex. 46) Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.

f x , y = l n l n   ( x 2 + 4 y 2 )  

Passo 1

E aí galerinha, tudo beleza? Bora lá resolver mais uma questão?

O objetivo desse exercício aqui, é desenhar um mapa de contorno, da função dada no enunciado. Um mapa de contorno, nada mais é do que a representação de uma função, com uma entrada bidimensional, e uma saída unidimensional. Então pra gente encontrar esse mapa, devemos primeiramente igualar a função à um plano qualquer. Vamos lá então?

Olha só, pra fazer as curvas de nível da função dada, vamos projetá-la no plano k , tendo o seguinte:

l n l n   ( x 2 + 4 y 2 )   = k

Sendo o k uma constante qualquer.

Pra a gente saber que tipo de figura vai formar, precisamos tirar esse l n daí. E como fazemos isso? Basta aplicar uma exponencial e dos dois lados.

Mas calma, é de boa, vem comigo!

Passo 2

Vamos pegar nossa equação ali do passo anterior e aplicar a exponencial dos dois lados, obtendo o seguinte:

e l n l n   x 2 + 4 y 2   = e k

Como a gente já sabe das regrinhas matemáticas, e l n l n   x     = x , então aqui, a gente tem:

x 2 + 4 y 2 = e k

Desenvolvendo a equação acima, podemos reescrevê-la assim:

x 2 e k + 4 y 2 e k = 1

x 2 e k + y 2 e k / 4 = 1

Essa reescrita vai nos permitir observar algo muito interessante e que vai nos ajudar bastante aqui! A equação aqui em cima, é uma elipse! Bora lá trabalhar em cima dessa informação então.

Passo 3

O centro da elipse é na origem ( 0 ,   0 ) , e os eixos variam de acordo com o valor de k . Sabemos isso das regras matemáticas que contemplam uma elipse.

Então, se k = 0 por exemplo, temos a elipse da seguinte forma:

x 2 e 0 + y 2 e 0 / 4 = 1       →         x 2 1 + y 2 1 / 4 = 1

Que tem eixos medindo   a medindo 1 e eixo b medindo 1 2 .

Então, as curvas de nível vão ser uma família de elipses concêntricas, com eixos dependendo de k .

Agora bastante a gente definir valores de k para traçarmos o mapa! Vou fazer aqui com k = - 2 ,   k = - 1 ,   k = 0 ,   k = 1   e   k = 2 :

E tá aí o nosso mapa de contorno! 😉

Uhul! Conseguimos!

Pra essa questão é isso, pessoal!! Bora resolver mais uma?

Resposta

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