Exercícios Resolvidos de Funções de 2 variáveis, Curvas de Nível e Gráfico

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Enunciado

7- Dada a função f x , y = 1 x 2 + y 2 , pede-se:

a) As equações das curvas de nível z = 1 / 4 , z = 4 e z = 9 .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Para essa questão, foi dada a função f x , y = 1 x 2 + y 2 e temos que calcular algumas curvas de níveis. Ok, mas como fazemos isso? 🤔

Calcular uma curva de nível de uma função é como se fizéssemos um corte paralelo ao plano x y a uma altura k .

Algo muito parecido com os desenhos topográficos de geografia, lembra?

Inicialmente temos uma função tridimensional, quando calculamos a curva de nível dessa função, transformamos ela em uma função bidimensional já que estamos transformando a variável z em uma constante k .

O primeiro passo para se calcular a curva de nível de uma função é substituir f x , y por k

f x , y = 1 x 2 + y 2

k = 1 x 2 + y 2

Organizando um pouco mais essa equação, temos

x 2 + y 2 = 1 k

Essa equação nos lembra muito a equação da circunferência, onde nosso r a i o 2 = 1 k .

Passo 2

Depois de termos organizado a questão, vamos substituir os valores de k = 1 4 , k = 4 e k = 9 .

Para o nível k = 1 4

x 2 + y 2 = 1 1 4

x 2 + y 2 = 4

x 2 + y 2 = 2 2

Para este nível, temos uma circunferência de raio 2 .

Para o nível k = 4

x 2 + y 2 = 1 4

x 2 + y 2 = 1 2 2

Encontramos uma circunferência de raio 1 / 2 .

Para o nível k = 9

x 2 + y 2 = 1 9

x 2 + y 2 = 1 3 2

Encontramos uma circunferência de raio 1 / 3 .

Passo 3

Por fim, plotamos as curvas de níveis no plano cartesiano

Onde e q 1 é o nível k = 1 / 4 , e q 2 é o nível k = 4 e e q 3 é o nível k = 9 .

Vemos que quanto maior o nível, menor o raio da circunferência

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

Para k = 1 / 4 , x 2 + y 2 = 2 2

Para k = 4 , x 2 + y 2 = 1 2 2

Para k = 9 , x 2 + y 2 = 1 3 2

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