Exercícios Resolvidos de Funções de 2 variáveis, Curvas de Nível e Gráfico

Funções de Várias Variáveis, Superfícies, Curvas Parametrizadas

Cada uma das figuras abaixo representa uma superfície. Na coluna 1 da tabela, temos uma equação para cada uma dessas superfícies. Cada superfície contém a imagem de uma das curvas da coluna 2 . Escreva abaixo de cada figura qual é a curva cuja imagem está contida na superfície que ela representa:

Passo 1

Vamos lá! Primeiro, escolhemos uma superfície da coluna 1 , e, depois, vemos qual é a curva de nível correspondente, tudo bem?

Para descobrir a superfície, basta que zeremos cada variável, uma por vez, e analisemos a curva resultante do corte feito pelo plano formado pelas outras duas variáveis.

Por exemplo, para a primeira superfície:

z 2 = x 2 + y 2

Se zeramos a variável x , estamos no plano O y z , que, quando corta a superfície nos dá:

z 2 = y 2

z = ± y

Ou seja, um par de retas no plano O y z !

Da mesma forma, zerando a variável y , temos o mesmo par de retas, mas no plano O x z !

E, para qualquer nível z , temos:

x 2 + y 2 = c 2

Veja que, como c está ao quadrado, pode ser negativo, 0 ou positivo, que não teremos nenhuma indeterminação! E as curvas de nível são circunferências, no caso, de raio c , e paralelas ao plano O x y . Assim, temos que x 2 + y 2 = z 2 corresponde ao duplo cone:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

E qual é a curva de nível que atende a equação desse cone? Basta vermos uma que a primeira coordenada ao quadrado somada com a segunda ao quadrado dê a terceira ao quadrado, pois a equação da superfície é x 2 + y 2 = z 2 !

A única curva que atende a esse requisito é a γ t = 1 , tan ⁡ t , sec ⁡ t ,   t ∈ 0 , π 2 , pois

1 2 + tan 2 ⁡ t = sec 2 ⁡ t

Show, já matamos uma!

Passo 3

Partindo para a próxima, temos a seguinte superfície:

z = y 2 - x 2

Pelo mesmo processo, se tornarmos a variável x = 0 , estamos andando pelo plano O y z , certo? E teremos a curva:

z = y 2

Que é a clássica parábola! Neste caso, lembre, ela está no plano O y z , e aponta no sentido do eixo z , pois o coeficiente de y 2 é 1 , que é maior que 0 ;)

Zerando, agora, o y , teremos:

z = - x 2

Que é uma outra parábola, né? Mas, dessa vez, está com a boa para baixo, apontando no sentido negativo do eixo z !

Prosseguindo, se zeramos z , temos:

x 2 = y 2

x = ± y

Ou seja, no plano O x y , em z = 0 , temos um par de retas, simétricas, que passam pela origem! Essas retas, percebam, são seriam “retas” se z ≠ 0 ! Veja, colocando z = 1 , temos:

y 2 - x 2 = 1

Que é uma hipérbole! Já pegou a ideia? Temos parábolas e hipérboles... estamos num paraboloide hiperbólico!

Perfeito, já matamos outra superfície!

Passo 4

E agora? Para encontrar a curva de nível que corresponde ao nosso paraboloide hiperbólico, temos que ver qual delas atende ao requisito: a segunda coordenada ao quadrado menos a primeira coordenada ao quadrado deve ser igual a terceira coordenada:

z = y 2 - x 2

A única curva que isso acontece é a γ t = t , 2 t , 3 t 2 ,   t ∈ R

Passo 5

Segura que está quase! Vamos pra terceira superfície? Ela é:

z 2 = x 2 + y 2 + 1

Isso tá parecendo programa infantil: vamos, dee nooovo (ebaa \o/), zerar cada uma das variáveis!

Zerando o x , temos, no plano O y z :

z 2 = y 2 + 1

z 2 - y 2 = 1

Opa, é uma hipérbole!

Agora, vamos zerar o y ? Teremos, assim, no plano O x z :

z 2 = x 2 + 1

z 2 - x 2 = 1

Ih, olha só, outra hipérbole! Meio na cara né... as únicas duas opções que temos são hiperboloides XD E agora? Só resta zerar a variável z , né?

Fazendo isso, teremos:

x 2 + y 2 = - 1

Opa... calma aí, dois números ao quadrado, ainda por cima somados, dando um número negativo? Isso não pode acontecer no R 3 ! Sabe o que isso significa? Que nossa superfície não está definida no plano O x y , ou seja, quando z = 0 ! Daí sabemos que estamos falando do hiperboloide de duas folhas:

Perceba que, colocando z = 2 , por exemplo, teríamos x 2 + y 2 = 1 , ou seja, nossa curva de nível 2 é uma circunferência de raio 1 :D

Passo 6

Já dei um spoiler de que nossas curvas de nível serão circunferências né XD Mas, para não perder a rotina, temos que escolher, dentre as duas curvas que restam, a que obedeça à equação do hiperboloide:

z 2 = x 2 + y 2 + 1

Ou seja, que a terceira coordenada ao quadrado, seja a soma da primeira com a segunda, ambas ao quadrado, mais um :)

E a curva que nos fornece essa relação é: γ t = t sin ⁡ t , t cos ⁡ t , t 2 + 1 ,   t ∈ R  

Passo 7

Bom, agora que restou apenas a última superfície, vlw flws aí galera. Até a próxima questão!

Passo 8

Brincadeira XD Não vamos ficar na mão assim né? O RespondeAí vale cada centavo, cada questão :D

Vamos lá, qual será a diferença entre esse hiperboloide que temos agora e o outro? Se zerarmos x , teremos, no plano O y z :

z 2 = y 2 - 1

Ou seja, uma hipérbole, assim como o outro...

Se zerarmos o y , teremos no plano O x z ,

z 2 = x 2 - 1

Outra hipérbole! Até agora tudo igual né?

Mas, zerando z , teremos, no plano O x y ,

x 2 + y 2 = 1

Uma circunferência! Viu? Quando cortamos nossa superfície pelo plano z = 0 , temos alguma coisa palpável! Isso significa que a superfície existe em z = 0 , e sua curva de nível 0 é essa circunferência de raio 1 . Por isso, temos um hiperboloide de uma folha, pois é uma superfície contínua e definida em todo o R 3 !

Passo 9

Agora, só vamos verificar que a curva de nível restante realmente pertence ao hiperboloide! Ela é:

γ t = t , 1 , t , t ∈ R

E está sobre o hiperboloide z 2 = x 2 + y 2 - 1 , pois, colocando y = 1 , temos que

z 2 = x 2

E t = t é uma solução para essa equação :D

Resposta

z 2 = x 2 + y 2 / γ t = 1 2 + tan 2 ⁡ t = sec 2 ⁡ t

z 2 = y 2 - x 2 /     γ t = t , 2 t , 3 t 2 ,   t ∈ R

z 2 = x 2 + y 2 + 1 /     γ t = t sin ⁡ t , t cos ⁡ t , t 2 + 1 ,   t ∈ R

z 2 = x 2 + y 2 - 1 /     γ t = t , 1 , t , t ∈ R

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