Exercícios Resolvidos de Funções de 2 variáveis, Curvas de Nível e Gráfico

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Enunciado

Nos seguintes exercícios, ( I ) encontre o domínio D o m   f , ( I I ) encontre a imagem I m   f , e ( I I I ) descreva as curvas de nível da função:

f) f x , y = e - x 2 + y 2

Passo 1

Fala aí, meus queridos! Tudo certinho?

Para resolver essa questão, temos que entender os conceitos de domínio e imagem de uma função.

Podemos dizer que o domínio de uma função é o conjunto de todas as entradas possíveis da função e a imagem é o conjunto de todas as saídas possíveis da função. Ou seja.

Se f ( x , y ) = e - x 2 + y 2

D o m   f x , y = f x , y ∈ R

Seu domínio será o conjunto dos números reais.

I m   f x , y = f x , y ∈ R | 1 ≥ f x , y > 0

Sua imagem será, também, o conjunto dos números reais maiores que zero, já que qualquer operação com um número elevado por e não resulta em zero e números negativos, e menores que 1 , já que linearizando a função, vamos ter.

e - x 2 + y 2 = z

ln ⁡ e - x 2 + y 2 = ln ⁡ z

- x 2 + y 2 = ln ⁡ z

x 2 + y 2 = - ln ⁡ z

- ln ⁡ z tem que ser que zero e isso só acontece quando z for > que 0.

Passo 2

Para descrever a curva de nível de uma função, devemos iguala-la ao nível que queremos, por exemplo, nesse caso vamos usar os níveis 1 / 4 , 1 / 2 e 1 .

Para o nível 1 / 4

f x , y = 1 4

e - x 2 + y 2 = 1 4

x 2 + y 2 = - l n 1 4

Para o nível 1 / 2

f x , y = 1 2

e - x 2 + y 2 = 1 2

x 2 + y 2 = - l n 1 2

Para o nível 1

f ( x , y ) = 1

e - x 2 + y 2 = 1

x 2 + y 2 = - l n 1 = 0

Temos então as seguintes equações:

N 0 :   x 2 + y 2 = - l n 1 4 N 1 :   x 2 + y 2 = - l n 1 2 N 2 :   x 2 + y 2 = 0

Agora esboçamos os gráficos dessas equações e teremos os níveis N 0 , N 1 e N 2 .

É isso! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

D o m   f x , y = f x , y ∈ R

I m   f x , y = f x , y ∈ R | 1 ≥ f x , y > 0

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