Exercícios Resolvidos de Funções de 2 variáveis, Curvas de Nível e Gráfico

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Enunciado

Nos seguintes exercícios, ( I ) encontre o domínio D o m   f , ( I I ) encontre a imagem I m   f , e ( I I I ) descreva as curvas de nível da função:

c) f ( x , y ) = 1 16 - x 2 - y ²

Passo 1

Fala aí, meus queridos! Tudo certinho?

Para resolver essa questão, temos que entender os conceitos de domínio e imagem de uma função.

Podemos dizer que o domínio de uma função é o conjunto de todas as entradas possíveis da função e a imagem é o conjunto de todas as saídas possíveis da função. Ou seja.

Passo 2

ParaSe f ( x , y ) = 1 16 - x 2 - y ² , temos as restrições de que a raiz que está no denominador não pode ser menor que zero e o denominador também não pode ser zero.

D o m   f x , y = f x , y ∈ R | 16 - x 2 - y 2 > 0

D o m   f x , y = f x , y ∈ R | x 2 + y 2 < 16

Então sSeu domínio será o conjunto dos números reais, tal que x 2 + y ² seja menor que 16 , já que a raiz que está no denominador não pode ser menor que zero e por estar no denominador também não pode ser zero..

I m   f x , y = f x , y ∈ R | f x , y > 1 16

I m   f x , y = f x , y ∈ R | f x , y > 1 4

Sua imagem será, também, o conjunto dos números reais, definidos quando f ( x , y ) for maior que 1 / 4 .

Passo 3

Para descrever a curva de nível de uma função, devemos igualáa-la ao nível que queremos, por exemplo, nesse caso vamos usar os níveis 1 / 4 , 1 / 2 , 1 e 5 .

Para o nível 1 / 4

f x , y = 1 4

1 16 - x 2 - y ² = 1 4

x 2 + y 2 = 0

Essa é a equação de uma circunferência centrada na origem e com raio 0, ou seja, um ponto.

Para o nível 1/2

f x , y = 1 2

1 16 - x 2 - y ² = 1 2

x 2 + y 2 = 12

Essa função é uma circunferência centrada na origem e com raio 12 .

Para o nível 1

f ( x , y ) = 1

1 16 - x 2 - y ² = 1

x 2 + y 2 = 15

Para o nível 5

f ( x , y ) = 5

1 16 - x 2 - y ² = 5

x 2 + y 2 = 15,96

Temos então as seguintes equações:

N 1 :   x 2 + y 2 = 0 N 2 :   x 2 + y 2 = 12 N 3 :   x 2 + y 2 = 15 N 4 : x 2 + y 2 = 15,96

Vemos que quanto maior o nível, mais próximo de 16 a igualdade está.

Agora esboçamos os gráficos dessas equações e teremos os níveis 1 , 2 , 3 e 4 .

É isso! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

D o m   f x , y = f x , y ∈ R | x 2 + y 2 < 16

I m   f x , y = f x , y ∈ R | f x , y > 1 4

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