Exercícios Resolvidos de Funções de 2 variáveis, Curvas de Nível e Gráfico

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Enunciado

Esboce o gráfico das funções a seguir:

g) f x , y = 4 x 2 + y 2 + 1

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Para essa questão, foi solicitado que esbocemos um gráfico de f ( x , y ) , mas você acha que podemos fazer isso? 🤔

Esboçar um gráfico é traçar, de uma forma mais material, a imagem da função.

Uma função f x , y está contida em três dimensões, ou seja, dependendo de um determinado ponto em x e um determinado ponto em y , vamos ter uma imagem em z , com isso, podemos afirmar que na verdade f x , y = z .

Podemos comparar com uma lei muito famosa, a chamada 3° Lei de Newton ou lei da Ação e Reação. Essa lei da natureza diz que para cada ação, há uma consequência, por exemplo, se não estudarmos o suficiente para a prova, não vamos tirar nota boa, não é?

Então, nossas ações são nossas variáveis x e y , no caso, não estudar. Quando isso acontece, temos uma reação, ou seja, nossa variável z ou f x , y , que no caso foi não tirar nota boa.

Entendeu? Para cada valor de x e y , vamos ter um z (para cada ação, vamos ter uma reação)!

Passo 2

Na prática, funciona da seguinte maneira:

Temos a função que vamos esboçar o gráfico

f x , y = 4 x 2 + y 2 + 1

O próximo passo é analisarmos o que esperamos de como será o gráfico.

Neste caso, como você acha que ele vai ser? Plano, ondulado, inclinado, curvo...?

Vemos que nossa função f x , y parece muito com uma equação muito conhecida, a equação da elipse

Neste caso, por conta dessa semelhança, vamos usar o método de curvas de nível, onde substituímos f x , y por um valor qualquer e ver o resultado.

Quando z = 0 , encontramos uma elipse com a e b negativos, assim como a circunferência, não existe raio com valores negativos no conjunto dos números reais, logo, também não existe elipses com a e b negativos.

Passo 3

Quando z = 1 , encontramos x 2 1 / 4 + y 2 1 = 0 , isso representa um ponto.

Quando z = 2 e z = 3 , encontramos x 2 1 / 4 + y 2 1 = 1 e x 2 1 / 2 + y 2 2 = 1 respectivamente.

Esboçando essas curvas em seus determinados planos de z , temos

Ligando as curvas, vamos ter um plano que representa o gráfico de f x , y

Podemos ver também, graficamente, quando escrevemos a imagem de uma função, que no caso é I m = f x , y ∈ R f x , y ≥ 1 .

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

Gráfico no último passo.

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