Exercícios Resolvidos de Funções de 2 variáveis, Curvas de Nível e Gráfico

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Enunciado

(Capítulo 14.2 – Exercício 37)

Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.

f x , y = x 2 y 3 2 x 2 + y 2                 s e   ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) 1                                             s e   x , y = ( 0,0 )

Passo 1

Faaaala galera!

Ó se liga nesse exercício: temos uma função definida em partes (daquelas que são definidas de formas diferentes dependendo dos valores de x e y ), e aí queremos saber quando essa função é contínua, certo? Pra ser mais certeiro, queremos saber O MAIOR INTERVALO onde ela é contínua

Pra fazer isso, vamos:

A - Encontrar o intervalo de continuidade quando ( x , y ) ≠ ( 0,0 )

B - Verificar se função como um todo é contínua (incluindo o ponto ( 0,0 ) )

C - Se a função como um todo for contínua, o maior intervalo é todo o R ² . Caso contrário, é o intervalo encontrado no passo A

Show? Então vamos lá!

Passo 2

A função dada é

f x , y = x 2 y 3 2 x 2 + y 2                 s e   ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) 1                                             s e   x , y = ( 0,0 )

Vamos pro passo é, que é verificar se a função é contínua no intervalo em que ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) :

x 2 y 3 2 x 2 + y 2                 s e   ( x , y ) ≠ ( 0,0 )

Por ser uma função racional, ela é contínua desde que o denominador seja diferente de zero, certo?

Então, igualando o denominador a 0:

2 x 2 + y 2 = 0

2 x 2 = - y ²

Então, 2 x 2 + y 2 só é igual a zero quando x , y = ( 0,0 ) e esse ponto não faz parte do domínio.

Então, a função é contínua no intervalo onde ela está definida: ( x , y ) ≠ ( 0,0 )

Passo 3

Agora vamos para o passo B: temos que verificar se a função tem uma descontinuidade no ponto 0,0 . Para isso, devemos descobrir qual é o limite quando a função se aproxima de ( 0,0 ) .

Se o limite existir e for igual a 1 (que é o valor da função nesse ponto), a função é contínua.

L = lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 y 3 2 x 2 + y 2  

Como a soma de dois quadrados é sempre maior ou igual a zero:

x 2 + y 2 ≥ 0

Somando x 2 nos dois lados para ficar parecido com o denominador:

2 x 2 + y 2 ≥ x 2

Logo,

x 2 2 x 2 + y 2 ≤ 1

Multiplicando os dois lados por y ³ , para ficar parecido com a função, temos:

0 ≤ x 2 y 3 2 x 2 + y 2 ≤ y ³

Pelo teorema do confronto:

0   ≤ lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 y 3 2 x 2 + y 2   ≤ lim x , y → 0,0 ⁡ y ³

Assim,  

0 ≤ x 2 y 3 2 x 2 + y 2   ≤ 0

Então o nosso limite deu 0 , que é diferente do valor da função em x , y = ( 0,0 )

f 0,0 = 1

lim x , y → 0,0 ⁡ f ( x , y ) = 0

isso quer dizer que a função não é continua no ponto 0,0 , show?

Passo 4

Portanto, encontramos que f ( x , y ) possui uma descontinuidade no ponto ( 0,0 ) . Assim, o maior conjunto no qual a função é contínua será o intervalo do passo A: { x , y | ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) }

E é issooo

Resposta

{ x , y | ( x , y ) ≠ ( 0,0 )   } .

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